零点定理

零点定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a) \cdot f(b) < 0$），那么在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi)=0$。

二分法证明

不妨设 $f(a)<0<f(b)$。取中点 $m=(a+b)/2$；若 $f(m)=0$，结论已得。否则保留两端异号的半区间。若算法没有有限步停下，得到闭区间套 $[a_n,b_n]$，满足

$$f(a_n)<0<f(b_n),\qquad b_n-a_n=(b-a)/2^n,$$

其中 $[a_0,b_0]=[a,b]$。由实数的完备性，有唯一公共点 $\xi$，且 $a_n,b_n\to\xi$。连续性给 $f(a_n),f(b_n)\to f(\xi)$，两侧符号分别推出 $f(\xi)\le0$ 和 $f(\xi)\ge0$，故 $f(\xi)=0$。端点函数值非零，故 $\xi\in(a,b)$。

介值定理通过对 $f-C$ 使用本定理得到；本证明只使用实数完备性和连续性，没有反过来调用介值定理。

从存在性到近似计算

对 $f(x)=x^3-x-1$，有 $f(1)=-1$、$f(2)=5$。连续二分后保留的区间为

$$[1,1.5],\quad[1.25,1.5],\quad[1.25,1.375],\quad[1.3125,1.375].$$

四次二分后的中点为 $1.34375$，至少有一个根与它相距不超过 $0.03125$。一般地，二分 $n$ 次后取中点 $m_n$，误差至多 $(b-a)/2^{n+1}$；可以在计算前按目标误差决定次数。

本例根唯一还需另证：若 $1\le x<y\le2$，则

$$f(y)-f(x)=(y-x)(y^2+xy+x^2-1)>0,$$

所以严格递增。零点定理本身只保证至少一个根，不保证唯一。异号也是充分而非必要条件，例如 $x^2$ 在 $[-1,1]$ 两端同号但有零点；若去掉连续性，跳跃函数在 $0$ 左取 $-1$、右侧及 $0$ 取 $1$，两端异号却没有零点。