数列极限

ε-N定义

设数列 $\{x_n\}$，若存在常数 $a$ 满足：

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^+,\ n>N \Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon$$

则称数列收敛于 $a$，记作 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$；否则称数列发散。

几何解释：在 $a$ 的任意ε邻域外只有有限项

基本性质的证明

若 $x_n$ 同时趋于 $a$ 和 $b$ 且 $a\ne b$，取 $\varepsilon=|a-b|/3$，足够大的 $n$ 应满足 $|a-b|\le|a-x_n|+|x_n-b|<2|a-b|/3$，矛盾，故极限唯一。

若 $x_n\to a$，取误差 $1$，尾部满足 $|x_n|<|a|+1$；再取这个界与有限个前项绝对值的最大值，便得到全列有界。若 $a>0$，取误差 $a/2$，就有 $x_n>a/2$ 的最终保号性。

子列写为 $x_{n_k}$，其中指标严格递增，所以 $n_k\ge k$。原数列的阈值 $N$ 对子列仍有效：$k>N$ 推出 $n_k>N$，故子列趋于同一极限。

怎样证明发散

定义的否定是：对每个候选 $a\in\mathbb R$，存在 $\varepsilon_0>0$，使任意阈值 $N$ 后仍有 $n>N$ 满足 $|x_n-a|\ge\varepsilon_0$。常用捷径是找两个极限不同的子列，例如 $(-1)^n$。发散不等于趋于无穷：振荡数列也发散。

无需先猜极限时，可改用柯西极限存在准则；若数列单调有界，可用单调有界准则，其存在性依赖实数的完备性。