连续与收敛的量词辨析

连续性、一致连续性描述一个函数；点态收敛、一致收敛性描述一列函数。做题时先确定对象、定义域和固定的变量，再选择量词或误差估计。

四种条件怎样配合

性质	要控制的误差	允许依赖哪些量
在 $x_0$ 连续	点 $x$ 接近 $x_0$ 时的函数值差	$\delta$ 可依赖 $\varepsilon,x_0$
在 $D$ 一致连续	域内任意一对近点的函数值差	$\delta$ 可依赖 $\varepsilon,D$，不依赖所选点
在 $D$ 点态收敛	固定 $x$ 时第 $n$ 项与极限的差	$N$ 可依赖 $\varepsilon,x$
在 $D$ 一致收敛	整个域内的函数逼近误差	$N$ 可依赖 $\varepsilon,D$，不依赖所选点

一致连续中的两个点都可变化；一致收敛中的下标 $n$ 最终足够大，但同一阈值要覆盖所有点。以下例子使用相同函数改变定义域或改变问题，展示这些差别。

平方函数：局部连续与全域控制

对 $f(x)=x^2$，固定任意 $x_0\in\mathbb R$，当 $|x-x_0|<1$ 时，

$$|x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0|\le(2|x_0|+1)|x-x_0|.$$

取 $\delta=\min\{1,\varepsilon/(2|x_0|+1)\}$，证明在每点连续。

在 $[-M,M]$（$M>0$）上，$|x^2-y^2|\le2M|x-y|$，所以 $\delta=\varepsilon/(2M)$ 与位置无关，函数一致连续。若换成全实轴，取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，则

$$|x_n-y_n|=1/n\to0,\qquad |x_n^2-y_n^2|=2+1/n^2\ge2.$$

故全实轴不一致连续。这不是因为“某点不连续”，而是没有对所有位置有效的统一尺度。

倒数与平方根：端点和导数的边界

$f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 每点连续；取 $x_n=1/(n+1)$、$y_n=1/(n+2)$，两点距离为 $1/((n+1)(n+2))\to0$，函数值差却恒为 $1$，所以不一致连续。在 $[a,\infty)$（$a>0$）则

$$\left|\frac1x-\frac1y\right|=\frac{|x-y|}{xy}\le\frac{|x-y|}{a^2},$$

于是 $\delta=a^2\varepsilon$ 有效。无界区间也可以一致连续。

$g(x)=\sqrt x$ 在 $[0,\infty)$ 满足 $|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}$：不妨 $x\ge y$，则 $(\sqrt x-\sqrt y)^2\le(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)=x-y$。因此 $\delta=\varepsilon^2$ 有效，尽管导数在零点附近无界。有界导数法不适用时，仍可直接寻找这种模量估计。

函数列 xⁿ 的三种定义域

设 $f_n(x)=x^n$，$n\ge1$。

1. 在 $[0,1]$ 上：点态极限在 $x<1$ 为 $0$、在 $x=1$ 为 $1$。虽然 $x=1$ 处误差为零，但

   $$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{0\le x<1}x^n=1,$$

   故不一致收敛。误差的上确界没有取到，不影响判定。
2. 在 $[0,1)$ 上：极限恒为零且连续，但误差上确界仍为 $1$，所以仍不一致收敛。连续极限本身不是一致收敛的充分条件。
3. 在 $[0,r]$ 上，固定 $0\le r<1$：误差上确界为 $r^n\to0$，因此一致收敛。$0<r<1$、$0<\varepsilon<1$ 时可取整数 $N>\ln\varepsilon/\ln r$；$r=0$ 时误差恒为零。例如 $r=1/2$、误差要求小于 $0.01$，取 $N=7$，因为 $2^{-7}=1/128<0.01$。

不一致收敛还能用变化点直接检验：取 $x_n=2^{-1/n}\in[0,1)$，则 $f_n(x_n)=1/2$。给定 $\varepsilon_0=1/4$，任意大下标都能找到误差至少为 $\varepsilon_0$ 的点。逐点极限不允许把“固定的 $x$”偷偷换成这种随 $n$ 变化的 $x_n$。

每个单独的 $x^n$ 在 $[0,1]$ 都一致连续：由幂差分解，$|x^n-y^n|\le n|x-y|$，可取 $\delta=\varepsilon/n$。它依赖函数下标 $n$，所以“每个函数一致连续”不能推出函数列一致收敛。还有

$$\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to1^-}x^n=1,\qquad \lim_{x\to1^-}\lim_{n\to\infty}x^n=0,$$

给出累次极限不能任意交换的同一例子。

函数列 x/n：一致收敛也取决于域

$g_n(x)=x/n$ 在任意固定的有界区间 $[-M,M]$ 上误差为 $M/n$，所以一致趋于零。全实轴上，每个固定 $x$ 仍有 $g_n(x)\to0$，但每个 $n$ 都有 $\sup_{\mathbb R}|x/n|=+\infty$；也可直接选 $x_n=n$，此时 $g_n(x_n)=1$，故不一致收敛。

反例怎样使用

证明一致性质，应找覆盖整个域的上界；否定时应给出一个固定的正误差，再构造任意小尺度或任意大下标仍失败的位置。画有限张图或检查有限多个点只能帮助猜测，不能替代这些量词。

本页是概念对照，定义、判据和证明分别保存在开头链接的知识页。后续研究函数项级数时，把 $f_n$ 换成部分和，即可继续使用同一套判断。