最值定理

最值定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则它在该区间上必定有界，并且能够取得最大值和最小值。

证明

先证明有界。若 $f$ 无界，可为每个 $n$ 选 $x_n\in[a,b]$ 使 $|f(x_n)|>n$。由实数的完备性，有 $x_{n_k}\to c\in[a,b]$。连续性使 $f(x_{n_k})\to f(c)$，从而有界，与 $|f(x_{n_k})|>n_k$ 矛盾。

再令 $M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)$。上确界定义保证存在 $y_n\in[a,b]$，使 $M-1/n<f(y_n)\le M$。抽取收敛子列 $y_{n_k}\to d\in[a,b]$，连续性与夹逼分别给 $f(y_{n_k})\to f(d)$ 和 $f(y_{n_k})\to M$，由极限唯一性得 $f(d)=M$。对 $-f$ 使用同一结论可得最小值。

这里“有界”保证能抽子列，“闭”保证极限点仍在定义域内，“连续”保证函数值沿子列收敛，三者各有作用。

条件与反例

$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续、有界，但没有最大值和最小值；在 $\mathbb R$ 上连续却无界。即使定义在闭区间，去掉连续性也不保证取到上确界：在 $[0,1]$ 令 $g(x)=x$（$x<1$）、$g(1)=0$，则 $\sup g=1$ 却没有最大值。极值计算进入极值前，应先判断所求最值是否存在。