无穷小的比较

定义

无穷小比较定义

设 $\alpha,\beta$ 为同一过程中的无穷小，以下分母须在趋近过程中最终非零；非整数实幂还须保证实值定义域。

• $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ⇒ $\beta=o(\alpha)$（高阶无穷小）
• $\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$ ⇒ β 是比 α 低阶的无穷小（即 $\alpha=o(\beta)$）
• $\lim \frac{\beta}{\alpha}=c\neq0$ ⇒ $\beta$ 与 $\alpha$ 同阶
• $\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c, (c\neq0,k>0)$ ⇒ $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小
• $\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ ⇒ $\beta \sim \alpha$（等价无穷小）

无穷小的比较定理

比较定理

1. $\beta \sim \alpha \iff \beta=\alpha+o(\alpha)$
2. 若 $\alpha \sim \tilde{\alpha}, \beta \sim \tilde{\beta}$ 且 $\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}$

推论

等价替换来自比值趋于 1；泰勒展开是建立等价关系的一种方法，不是唯一依据。乘除中可逐因子替换，加减中若发生主项抵消，必须保留更高阶项。

常用等价无穷小

当 $x \to 0$ 时

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $(1 + x)^n - 1 \sim nx$
• $\sqrt[n]{(1 + x)} - 1 \sim \frac{x}{n}$
• $(1 - x)^n - 1 \sim -nx$
• $\sinh x \sim x$
• $\tanh x \sim x$

当 $x \to +\infty$ 时

• $\cosh x \sim e^x/2$

多项式处理

对关于 $n$ 的有理式，通常同除分母的最高次幂 $n^k$，再比较次数与首项系数；不是一律只除以 $n$。

替换原则

与其他无穷小替换时需考虑是否影响次阶，详见泰勒公式

例如 $\sin x\sim x$，但 $\sin x-x\sim-x^3/6$；若把差式中的 $\sin x$ 直接换成 $x$，就丢失了第一个非零项。表中 $(1\pm x)^n-1$ 的等价式取固定非零实数 $n$，根式项取正整数 $n$，并在零点附近保持底数为正。