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DeepSeek-R1

Cyletix2025/8/25数学公式

定义

无穷小比较定义

设 α,β\alpha,\beta 为同一过程中的无穷小：

  • lim⁡βα=0\lim \frac{\beta}{\alpha}=0 ⇒ β=o(α)\beta=o(\alpha)（高阶无穷小）
  • lim⁡βα=∞\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty ⇒ β=O(α)\beta=O(\alpha)（低阶无穷小）
  • lim⁡βα=c≠0\lim \frac{\beta}{\alpha}=c\neq0 ⇒ β\beta 与 α\alpha 同阶
  • lim⁡βαk=c,(c≠0,k>0)\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c, (c\neq0,k>0) ⇒ β\beta 是 α\alpha 的 kk 阶无穷小
  • lim⁡βα=1\lim \frac{\beta}{\alpha}=1 ⇒ β∼α\beta \sim \alpha（等价无穷小）

无穷小的比较定理

比较定理

  1. β∼α  ⟺  β=α+o(α)\beta \sim \alpha \iff \beta=\alpha+o(\alpha)
  2. 若 α∼α~,β∼β~\alpha \sim \tilde{\alpha}, \beta \sim \tilde{\beta} 且 lim⁡β~α~\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}} 存在，则 lim⁡βα=lim⁡β~α~\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}

推论

无穷小替换基于泰勒展开的有效性，高阶无穷小不影响多项式近似

当 x→0x \to 0 时

  • sin⁡x∼x\sin x \sim x
  • tan⁡x∼x\tan x \sim x
  • arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim x
  • arctan⁡x∼x\arctan x \sim x
  • ex−1∼xe^x - 1 \sim x
  • ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim x
  • (1+x)n−1∼nx(1 + x)^n - 1 \sim nx
  • (1+x)n−1∼xn\sqrt[n]{(1 + x)} - 1 \sim \frac{x}{n}
  • (1−x)n−1∼−nx(1 - x)^n - 1 \sim -nx
  • sinh⁡x∼x\sinh x \sim x
  • tanh⁡x∼x\tanh x \sim x

当 x→∞x \to \infty 时

  • cosh⁡x∼ex\cosh x \sim e^x
多项式处理

对 nn 的多项式，上下同除 nn 变为 1n+\dfrac{1}{n} + 常数多项式

替换原则

与其他无穷小替换时需考虑是否影响次阶，详见泰勒公式

DeepSeek-R1

修改建议

  1. 修正等价无穷小定义错误
  2. 统一无穷小列表格式
  3. 移除冗余表格
  4. 添加callout格式
  5. 简化"推论"部分描述
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