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定义

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定义

若 lim⁡βα=0\lim \frac{\beta}{\alpha}=0, 则 β\beta 是比 α\alpha 高阶的无穷小, 记作 β=o(α)\beta=o(\alpha) 若 lim⁡βα=∞\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty, 则 β\beta 是比 α\alpha 低阶的无穷小, 记作 β=O(α)\beta=O(\alpha) 若 lim⁡βα=c≠0\lim \frac{\beta}{\alpha}=c\neq0, 则 β\beta 是与 α\alpha 同阶的无穷小 若 lim⁡βαk=c,(c≠0,k>0)\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c, (c\neq0,k>0), 则 β\beta 是关于 α\alpha 的kk阶的无穷小 若 lim⁡βα=1\lim \frac{\beta}{\alpha}=1, 则 β\beta 是比 α\alpha 高阶的无穷小, 记作 β=o(α)\beta=o(\alpha)

无穷小的比较定理

  1. β\beta 与 α\alpha 时等价无穷小的充分必要条件是: β=α+o(α)\beta=\alpha+o(\alpha)
  2. 设 α∼α~,β∼β~\alpha \sim \tilde{\alpha}, \beta \sim \tilde{\beta} , 且 lim⁡β~α~\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}} 存在, 则 lim⁡ββ=lim⁡β~α~\lim \frac{\beta}{\beta}=\lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}

无穷小比较的推论

代换的条件基于泰勒展开的有效性，也就是高阶无穷小不影响多项式近似结果

当 x→0x \to 0 时:

sin⁡x∼x \sin x \sim x

tan⁡x∼x \tan x \sim x

arcsin⁡x∼x \arcsin x \sim x

arctan⁡x∼x \arctan x \sim x

ex−1∼x e^x - 1 \sim x

ln⁡(1+x)∼x \ln(1+x) \sim x

(1+x)n−1∼nx (1 + x)^n - 1 \sim nx

(1+x)n−1∼xn \sqrt[n]{(1 + x)} - 1 \sim \frac{x}{n}

(1−x)n−1∼−nx (1 - x)^n - 1 \sim -nx

sinh⁡x∼x \sinh x \sim x

tanh⁡x∼x \tanh x \sim x

无穷小近似泰勒公式
(1+x)n−1∼nx(1+x)^n-1 \sim nx(1+x)n=1+nx+12n(n−1)x2+⋯(1+x)^n=1+nx+\frac{1}{2}n(n-1)x^2+\cdots
cos⁡(x)∼1−12x2\cos(x)\sim 1-\frac{1}{2}x^2cos⁡(x)=1−12!x2+\cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+
sin⁡(x)∼x\sin(x)\sim xsin⁡(x)=x−13!x3+\sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+
ex−1∼xe^x-1 \sim xex=10!x0+11!x1+12!x2+⋯+1n!xne^x=\frac{1}{0!}x^0+\frac{1}{1!}x^1+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n

当 x→∞x \to \infty 时:

cosh⁡x∼ex \cosh x \sim e^x

对n的多项式, 上下同除n, 变为1n\dfrac{1}{n}+常数的多项式

与其他无穷小替换的时候, 需要考虑是否影响次阶, 详见泰勒公式