若数列 xn{x_n}xn yn{y_n}yn zn{z_n}zn 从某项起满足 yn≤xn≤zny_n \leq x_n \leq z_nyn≤xn≤zn 且 yn{y_n}yn zn{z_n}zn 极限为a 则 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限存在, 且 limn→∞xn=a\displaystyle\lim _{n \to \infty} x_n=an→∞limxn=a
以上定理可以推广到函数的极限: 若 x∈U˚(x0,r)x\in \mathring{U}(x_{0},r)x∈U˚(x0,r)或∣x∣>M|x|>M∣x∣>M时, g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) 且 limx→x0/∞g(x)=limx→x0/∞h(x)=A\displaystyle\lim_{ x \to x_{0}/\infty }g(x)=\lim_{ x \to x_{0}/\infty }h(x)=Ax→x0/∞limg(x)=x→x0/∞limh(x)=A 则limx→x0/∞f(x)=A\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}/\infty }f(x)=Ax→x0/∞limf(x)=A , 极限存在
对给定 ε>0\varepsilon>0ε>0，分别取阈值使 a−ε<yn<a+εa-\varepsilon<y_n<a+\varepsilona−ε<yn<a+ε、a−ε<zn<a+εa-\varepsilon<z_n<a+\varepsilona−ε<zn<a+ε，再与大小关系开始成立的阈值一起取最大值。其后有 a−ε<xn<a+εa-\varepsilon<x_n<a+\varepsilona−ε<xn<a+ε，即 xn→ax_n\to axn→a。函数版本把阈值换成邻域半径的最小值即可；上下界必须沿同一方向趋近。
例如 ∣xsin(1/x)∣≤∣x∣→0|x\sin(1/x)|\le|x|\to0∣xsin(1/x)∣≤∣x∣→0，所以乘积趋于零，尽管 sin(1/x)\sin(1/x)sin(1/x) 本身没有极限。若上下界极限不同，就不能用本准则确定中间函数的极限，如 −1≤sin(1/x)≤1-1\le\sin(1/x)\le1−1≤sin(1/x)≤1。
