柯西极限存在准则

实数（或复数）数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是:
对于任意给定的正数 $\epsilon$ ,存在正整数N, 使得当 $m>N, n>N$ 时, 有

$$|x_n-x_m|<\epsilon$$

这里使用实数或复数的完备性；在不完备的度量空间中，柯西序列未必在该空间内有极限。

证明

收敛推出柯西：若 $x_n\to L$，对给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $n>N$ 时 $|x_n-L|<\varepsilon/2$。于是 $m,n>N$ 时

$$|x_n-x_m|\le|x_n-L|+|x_m-L|<\varepsilon.$$

实数柯西列推出收敛：先取误差 $1$，将尾项与一个固定的尾项比较可知尾部有界，再并入有限个前项，得到全列有界。由实数的完备性，存在子列 $x_{n_k}\to L$。对给定 $\varepsilon>0$，取柯西阈值 $N$ 对应误差 $\varepsilon/2$，再选 $n_k>N$ 且 $|x_{n_k}-L|<\varepsilon/2$。对所有 $n>N$，

$$|x_n-L|\le|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-L|<\varepsilon.$$

因此全列收敛。复数情形分别对实部、虚部使用实数结论。

如何否定柯西条件

否定形式为

$$\exists\varepsilon_0>0,\ \forall N,\ \exists m,n>N:\ |x_n-x_m|\ge\varepsilon_0.$$

仅有相邻项差 $x_{n+1}-x_n\to0$ 不够。例如 $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ 的相邻差为 $1/(n+1)\to0$，但

$$H_{2n}-H_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\ge\frac12,$$

任意远的尾部仍能找到相距至少 $1/2$ 的两项，所以它不收敛；这是调和级数发散的另一种证明。