第二类换元法

第二类换元法的主要思路是将 $dx$ 换元后里面的内容提取到外面, 得到容易求得的积分后再将变量换回$x$.

设 $f(x)$ 为可积函数，$x=\phi(t)$ 为连续可导的单调函数，且有 $a=\phi(\alpha)$、$b=\phi(\beta)$，则：

Info

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt$$

注意点

1. 三角函数
2. 反三角函数运算
3. 计算定积分时函数是否连续

示例

在遇到类似 $\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$ 和 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的式子时，通常采取分别令 $x = \pm a \sec t$、$x = \pm a \tan t$ 或 $x = \pm a \sin t$ 进行换元，得到关于 $t$ 的一个原函数。

1. $\sqrt{a^2-x^2}$

例1: $\displaystyle\int \sqrt{a^2-x^2}dx, (a>0) (x \in[-a,a])$

令 $x = a\sin t$，$t\in[-\pi/2,\pi/2]$，则 $dx=a\cos t\,dt$，且 $\cos t\ge0$

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx =\int \sqrt{ a^{2}-a^{2}\sin^{2}(t) } d(a\sin(t))$$

$$=\int a\cos(t)\cdot a\cos(t) \, dt =a^{2}\left( \frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4} \right)+C$$

代回 $t=\arcsin(x/a)$ 得 $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin(x/a)+C$。也可用余弦代换，但必须同时选择反函数分支并调整微分符号。

2. $\sqrt{x^2+a^2}$

例2: $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx, (a>0)$

令 $x = a \tan (t)$, 则 $dx = a\sec^2 t\,dt$, 其中 $t \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$：

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx &= \int \frac{1}{\sqrt{a^2\tan^2 t + a^2}} \cdot a\sec^2 t\,dt \\ &= \int \frac{a\sec^2 t}{a\sec t}dt = \int \sec t\,dt \\ &= \ln|\sec t + \tan t| + C \end{aligned}$$

由 $\tan t = \dfrac{x}{a}$ 知 $\sec t = \dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$，代回得：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx = \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$$

3. $\sqrt{x^2-a^2}$类

例3: $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx, (a>0)$

先在 $x>a$ 上令 $x = a \sec (t)$, 则 $dx = a\sec t\tan t\,dt$, 其中 $t \in(0,\frac{\pi}{2})$：

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx &= \int \frac{1}{\sqrt{a^2\sec^2 t - a^2}} \cdot a\sec t\tan t\,dt \\ &= \int \sec t\,dt = \ln|\sec t + \tan t| + C \end{aligned}$$

由 $\sec t = \dfrac{x}{a}$ 知 $\tan t = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$，代回得：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx = \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C$$

在 $x<-a$ 上改取 $x=-a\sec t$，$0<t<\pi/2$，于是 $dx=-a\sec t\tan t\,dt$，积分变为 $-\int\sec t\,dt$。代回仍可写成 $\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$，但两个定义区间上的常数互相独立。