单调性

简介

单调性是描述函数值随自变量在某个区间内变化趋势的核心概念. 一个函数可以是单调递增或单调递减, 也可以在不 同区间内表现出不同的单调性. 通过分析函数的单调性, 可以深入理解其图形的形状, 走向以及极值点的分布.

定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I \subseteq D$.

• 单调递增 (Monotonically Increasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1, x_2$, 当 $x_1 < x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) \leq f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增. $$\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$$
• 严格单调递增 (Strictly Increasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1, x_2$, 当 $x_1 < x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) < f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调递增. $$\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$
• 单调递减 (Monotonically Decreasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1, x_2$, 当 $x_1 < x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) \geq f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减. $$ \forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$$
• 严格单调递减 (Strictly Decreasing)
  如果对于区间 $I$ 内的任意两点 $x_1, x_2$, 当 $x_1 < x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) > f(x_2)$, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调递减. $$\forall x_1, x_2 \in I, \quad x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$$

计算

利用导数符号判断函数单调性. 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内可导:

• 递增判断:
  • 若在 $I$ 内恒有 $f'(x) > 0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增.
  • 若在 $I$ 内恒有 $f'(x) \geq 0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增.
• 递减判断:
  • 若在 $I$ 内恒有 $f'(x) < 0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减.
  • 若在 $I$ 内恒有 $f'(x) \leq 0$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减.

关于严格单调性

如果 $f'(x) \geq 0$ 在区间 $I$ 内恒成立, 且使 $f'(x)=0$ 的点仅为有限个孤立点 (即不构成任何子区间) , 那么函数 $f(x)$ 在 $I$ 上依然是严格单调递增的. 递减情况同理.

示例

示例 1: 函数 $f(x) = x^3$

求函数在 $\mathbb{R}$ 上的单调性.

1. 求导:

   $$f'(x) = 3x^2$$

2. 判断导数符号:
   对于任意实数 $x \in \mathbb{R}$, 都有 $f'(x) = 3x^2 \geq 0$.
3. 结论:
   等号仅在 $x=0$ 这一个孤立点成立. 根据补充说明中的判别准则, 函数 $f(x) = x^3$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增的.

示例 2: 函数 $f(x) = -x^2$

求函数在 $\mathbb{R}$ 上的单调区间.

1. 求导:

   $$f'(x) = -2x$$

2. 判断导数符号:
   • 当 $x > 0$ 时, $f'(x) < 0$.
   • 当 $x < 0$ 时, $f'(x) > 0$.
3. 结论:
   • 函数 $f(x)$ 在区间 $(0, \infty)$ 上严格单调递减.
   • 函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上严格单调递增.