单调性

单调性描述了函数在某个区间内的增减趋势。一个函数可以是单调递增或单调递减，也可以在不同区间内表现出不同的单调性。

定义

1. 单调递增（Monotonically Increasing）： 如果对于任意的 $x_1, x_2 \in D$ 且 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增。

   $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$$

2. 严格单调递增（Strictly Increasing）： 如果对于任意的 $x_1, x_2 \in D$ 且 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上严格单调递增。

   $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$

3. 单调递减（Monotonically Decreasing）： 如果对于任意的 $x_1, x_2 \in D$ 且 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) \geq f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递减。

$$x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$$

4. 严格单调递减（Strictly Decreasing）： 如果对于任意的 $x_1, x_2 \in D$ 且 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上严格单调递减。

   $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$$

单调性的判别方法

1. 导数法：
   • 如果函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 内可导，则可以通过其导数 $f'(x)$ 的符号来判断单调性：
   • 如果 $f'(x) \geq 0$ 对所有 $x \in D$ 成立，则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递增。
     • 如果 $f'(x) > 0$ 对所有 $x \in D$ 成立，则 $f(x)$ 在 $D$ 上严格单调递增。
     • 如果 $f'(x) \leq 0$ 对所有 $x \in D$ 成立，则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递减。
     • 如果 $f'(x) < 0$ 对所有 $x \in D$ 成立，则 $f(x)$ 在 $D$ 上严格单调递减。
2. 二次导数法：
   • 对于一些复杂函数，可以利用二次导数 $f''(x)$ 来辅助判断单调性。如果 $f'(x)$ 在某个区间内单调递增或递减，可以根据 $f''(x)$ 的符号来确定：
     • 如果 $f''(x) > 0$ 在某个区间内成立，则 $f'(x)$ 在该区间内单调递增。
     • 如果 $f''(x) < 0$ 在某个区间内成立，则 $f'(x)$ 在该区间内单调递减。

例子

1. 例子 1：函数 $f(x) = x^3$ 在 ${R}$ 上的单调性

$$\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 3x^2 \geq 0$$

1 所以，$f(x)$ 在 ${R}$ 上单调递增。 2. 例子 2：函数 $f(x) = -x^2$ 在 ${R}$ 上的单调性

$$f'(x) = -2x$$

• 当 $x > 0$ 时，$f'(x) < 0$，所以 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上严格单调递减。
• 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上严格单调递增。

3. 例子 3：函数 $f(x) = e^x$ 在 ${R}$ 上的单调性

   $$\forall x \in {R}, f'(x) = e^x > 0$$

   所以，$f(x)$ 在 ${R}$ 上严格单调递增。