卷积

卷积描述了两个函数(信号)如何通过叠加来影响彼此, 是两个函数的二元算子, 使用 $*$ 表示

连续

函数$f$与$g$的卷积表示为:

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$

离散

两个幂级数 $\sum a_n (x-c)^n$ 与 $\sum b_n (x-c)^n$ 的乘积（柯西积）系数为卷积：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-c)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) (x-c)^n$$

其中 $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ 称为序列 $a_n$ 与 $b_n$ 的离散卷积。

一般地，两个离散序列 $f, g$ 的卷积为：

$$(f * g)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k] g[n-k]$$

性质

从中不难看出, 卷积满足以下性质

• 线性：$(f + g) * h = f * h + g * h$
• 交换律：$f * g = g * f$
• 结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$
• 标量结合律：$(a \cdot f) * g = a \cdot (f * g)$
• 分配律：$f * (g + h) = f * g + f * h$

存在条件与使用关系

连续卷积可在 $f,g\in L^1(\mathbb R)$ 时作为几乎处处定义的 $L^1$ 函数使用，并有 $\|f*g\|_1\le\|f\|_1\|g\|_1$；离散对应条件是 $f,g\in\ell^1(\mathbb Z)$。绝对可积保证换序，从而支持交换、结合等法则。并非任意两个函数都能卷积，例如 $f=g=1$ 的全实轴积分发散。该运算是双线性的，固定一个因子才是线性算子。

幂级数柯西积在两者共同收敛圆盘内部由绝对收敛保证；端点或一般条件收敛数项级数须另查，见幂级数运算规则。若函数在负半轴取零，则 $t\ge0$ 时 $(f*g)(t)=\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$，这与拉普拉斯变换的卷积公式衔接。

若独立随机变量 $X,Y$ 具有密度，则 $X+Y$ 的密度是 $f_X*f_Y$。例如两独立 $U(0,1)$ 之和的密度由区间交叠长度得到：$f(z)=z$（$0<z<1$）、$2-z$（$1\le z<2$），其余为零，积分为 1。独立性是使用两个边缘密度相乘的前提，见两个随机变量的函数分布。