泰勒级数

简介

泰勒级数是一种特殊的幂级数, 泰勒级数将一个函数表示为无穷幂级数的形式, 其系数 $a_n$ 由函数 $f(x)$ 的导数 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ 确定. 如果一个函数在某点无限可导, 并且其泰勒公式的余项在该点附近收敛于零, 那么这个函数就可以由其泰勒级数完全表示.

定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的泰勒级数定义为:
公式-泰勒级数
这是由指定函数$f(x)$的导数决定系数的特殊幂级数.

与泰勒公式的关系

• 泰勒公式 是一个包含有限项和余项的等式, 重点是指定精度下的计算值
• 泰勒级数是泰勒公式在 $n \to \infty$ 且 $R_n(x) \to 0$ 时的极限形式, 重点在函数表示

性质

收敛性

一个函数能否被其泰勒级数表示, 关键在于其泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 是否随着 $n \to \infty$ 而趋于 $0$. 如果趋于 $0$, 则级数收敛于函数本身.

常用展开式

• 麦克劳林公式
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$
• $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$