调和级数

背景

从直观上理解，一个级数 $\sum a_n$ 的收敛性至少要求其通项 $a_n$ 趋近于0，即$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，但这只是必要条件而不是充分条件。也就是说，通项趋近于0并不保证级数一定收敛，调和级数就是一个非常典型的反例。

调和级数

调和级数形如

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

尽管其通项 $\frac{1}{n}$ 趋近于0，但调和级数是发散的。

可以通过对数比较来直观理解这个级数的发散性：调和级数的部分和可以表示为

$$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \approx \ln(N)$$

由于对数函数 $\ln(N)$ 随着 $N$ 的增大而无界增长，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。

判断级数收敛的方法

除了验证通项趋近于0，还可以采用以下方法判断级数的收敛性：

1. 比较测试（Comparison Test）：与已知的收敛或发散的级数进行比较。
2. 比值测试（Ratio Test）：通过比较 $|a_{n+1} / a_n|$ 的极限来判断。
3. 根值测试（Root Test）：通过比较 $\sqrt[n]{|a_n|}$ 的极限来判断。
4. 积分测试（Integral Test）：将级数的通项函数化并通过积分判断。

这些方法提供了比简单检查通项趋近于0更强的收敛性判断依据。

应用

一个有趣的应用是骨牌问题:
骨牌按照从上到下的顺序放置，彼此之间存在一定的错位长度，错位长度随着骨牌的编号逐渐减小。是否可以通过这种方法使得最顶层骨牌与最底层骨牌之间的水平距离趋于无穷。

结论是只要有足够多的骨牌，最顶层骨牌离最底层的距离就可以无穷远.

• 骨牌从上到下编号为 $n$。
• 每块骨牌的长度为 $L$。
  则

1. 骨牌1与骨牌2之间的错位长度为 $L/2$
2. 骨牌2与骨牌3之间的错位长度为 $L/4$
3. 骨牌3与骨牌4之间的错位长度为 $L/6$
4. 骨牌$n$与骨牌$n+1$之间的错位长度为$L/2n$
   骨牌之间的错位满足：

$$d_n = \frac{L}{2n}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

最顶层骨牌相对于最底层的水平距离 $S_N$ 是前 $N$ 块骨牌的错位总和：

$$S_N = \sum_{n=1}^N d_n = \sum_{n=1}^N \frac{L}{2n}.$$

这是一个调和级数的部分和，具体为：

$$S_N = \frac{L}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N} \right).$$

调和级数的性质是：

$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \sim \ln(N) + e,$$

其中 $e$ 是欧拉常数。

因此，当 $N \to \infty$ 时，总距离近似为：

$$S_N \sim \frac{L}{2} \ln(N).$$

结论

• 水平距离可以增长无限大：调和级数的增长虽然非常缓慢，但确实会随着 $N$ 的增加趋于无穷。因此，如果骨牌数量 $N$ 足够多，理论上最顶层与最底层的水平距离 $S_N$ 可以趋于无穷。