背景

直观理解，一个级数 $\sum a_n$ 的收敛性要求其通项 $a_n$ 趋近于0，即$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，但这只是必要条件而不是充分条件，也就是说，通项趋近于0并不保证级数一定收敛，调和级数就是一个非常典型的反例。

调和级数

调和级数是指形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的级数。尽管其通项 $\frac{1}{n}$ 趋近于0，但调和级数是发散的。

可以通过对数比较来直观理解这个级数的发散性：调和级数的部分和可以表示为

$$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \approx \ln(N)$$

由于对数函数 $\ln(N)$ 随着 $N$ 的增大而无界增长，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。

判断级数收敛的方法

除了验证通项趋近于0，还可以采用以下方法判断级数的收敛性：

1. 比较测试（Comparison Test）：与已知的收敛或发散的级数进行比较。
2. 比值测试（Ratio Test）：通过比较 $|a_{n+1} / a_n|$ 的极限来判断。
3. 根值测试（Root Test）：通过比较 $\sqrt[n]{|a_n|}$ 的极限来判断。
4. 积分测试（Integral Test）：将级数的通项函数化并通过积分判断。

这些方法提供了比简单检查通项趋近于0更强的收敛性判断依据。