几何级数

定义

几何级数是无穷多个项的总和，这些连续项之间的公比$r$是恒定的.

$$S = \sum_{n=0}^\infty a r^n= a + ar + ar^2 + \cdots$$

其中：

• $a$ 是首项，
• $r$ 是公比（common ratio）

性质

1. 收敛条件：当 $a\ne0$ 时，几何级数当且仅当 $|r|<1$ 收敛；$a=0$ 时所有项为零，任意 $r$ 都收敛。
2. 求和公式：当 $|r|<1$ 时，几何级数的和为 $S=\frac{a}{1-r}$；$a=0$ 时对任意 $r$ 都有 $S=0$。
3. 部分和极限：在上述收敛条件下，当 $n \to \infty$ 时，几何级数的部分和趋近于 $S$。

收敛公式

当 $|r| < 1$ 时，几何级数的和可以直接表示为：

$$S = \frac{a}{1 - r}.$$

与等比数列的关系

等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比值相等，其通项公式为：

$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$

几何级数是等比数列的无穷求和形式。等比数列的前 $n$ 项和公式为：

$$S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

当 $|r| < 1$ 且 $n \to \infty$ 时，$r^n \to 0$，因此无穷几何级数的和为：

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

与泰勒公式的关系

泰勒公式给出带余项的有限展开；余项趋于零时才得到等于原函数的无穷泰勒级数。几何级数可以看作是泰勒公式在特定函数下的表现形式。例如，函数 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开为：

$$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)$$

这与几何级数的形式完全一致，其中 $a = 1$，$r = x$。因此，几何级数是泰勒公式在函数 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$ 下的特例。

推论

1. 有限项几何级数：前 $n$ 项的和为：

   $$S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

2. 无穷几何级数：当 $|r| < 1$ 时，无穷几何级数的和为：

   $$S = \frac{a}{1 - r}$$

推导

在已由有限部分和证明收敛之后，设其和为 $S$；以下相减不用于未证明收敛的级数：

$$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$

将两边乘以 $r$：

$$rS = ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$

两式相减：

$$S - rS = a \implies S(1 - r) = a.$$

解得：

$$S = \frac{a}{1 - r}.$$

级数展开

几何级数常用来展开一些分式。常见的形式如下：

1. 基本形式

$$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1.$$

2. 积分形式
   对几何级数公式积分，可以得到：

$$\int \frac{1}{1 - x} dx = -\ln|1 - x| + C.$$

3. 导数形式
   对几何级数公式 $\frac{1}{1 - x}$ 求导，可以得到：

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - x} \right) = \frac{1}{(1 - x)^2}$$

由此可得：

$$\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}.$$

示例

示例 1：计算几何级数的和

计算级数 $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ 的和。

解：

• 首项 $a = 2$，
• 公比 $r = \frac{1}{2}$。
• 由于 $|r| < 1$，级数收敛，其和为：

  $$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4$$

示例 2：判断级数是否收敛

判断级数 $3 + 6 + 12 + 24 + \cdots$ 是否收敛。

解：

• 公比 $r = 2$，
• 由于 $|r| > 1$，级数发散。

示例 3

几何级数示例

应用

几何级数常用于：

• 幂函数的泰勒展开
• 求解差分方程
• 计算等比数列和
• 近似值计算

逐项求导、积分只在 $|x|<1$ 内直接使用；在任意紧子区间 $|x|\le q<1$ 上有一致收敛。前 $N+1$ 项余量可明确控制为

$$\left|\frac1{1-x}-\sum_{n=0}^{N}x^n\right|=\left|\frac{x^{N+1}}{1-x}\right|\le\frac{q^{N+1}}{1-q}.$$

这同时给出展开等于原函数的证明和截断误差界。