微分方程的幂级数解法

用幂级数表示微分方程的解的方法。当方程无法用初等函数显式求解时（如变系数方程），可假设解在 $x_0$ 附近展开为幂级数。

方法步骤

1. 设幂级数解：假设解在 $x_0$ 邻域内可展开为

$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$$

2. 逐项微分：代入原方程，得到 $y', y'', \dots$ 的级数表达式。
3. 比较系数：合并同次幂，由恒等式系数相等得到 $a_n$ 的递推关系。
4. 求通项：解递推关系确定各项系数，得级数形式的解。

示例

求 $y'' + xy = 0$ 在 $x=0$ 附近的级数解。

设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，则 $y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}$。代入得：

$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} = 0$$

比较系数：

• $x^0$: $2a_2 = 0 \Rightarrow a_2 = 0$
• $x^1$: $6a_3+a_0=0\Rightarrow a_3=-a_0/6$
• $x^k\ (k\ge 1)$: $(k+2)(k+1)a_{k+2} + a_{k-1} = 0 \Rightarrow a_{k+2} = -\frac{a_{k-1}}{(k+2)(k+1)}$

适用与局限

• 适用于解析系数（$P(x), Q(x)$ 在 $x_0$ 处解析）的线性齐次微分方程。
• 在常点展开，即最高阶系数非零且归一化后的系数解析，解在这些系数共同解析的圆盘内解析；实区间为 $|x-x_0|<R$，端点不由此保证。非齐次项也解析时可同样处理。
• 涉及正则奇点时需用推广的 Frobenius 方法（含非整数幂项）。

本例 $a_0=y(0)$、$a_1=y'(0)$ 自由，递推产生两个独立解：

$$y=a_0\left(1-\frac{x^3}{6}+\frac{x^6}{180}-\frac{x^9}{12960}+\cdots\right)+a_1\left(x-\frac{x^4}{12}+\frac{x^7}{504}-\frac{x^{10}}{45360}+\cdots\right).$$

所有 $a_{3j+2}=0$，另两组每次增加 3 次幂，项的比值含分母两个趋于无穷的整数，因此对每个有限 $x$ 均绝对收敛。系数整齐抵消后得到 $y''+xy=0$。这既验证递推，也证明本例级数解不是只有形式意义。