章节导语

先研究数项级数的收敛，再处理函数项级数的极限交换与一致收敛。幂级数连接泰勒展开与微分方程，傅里叶级数提供另一类函数表示。

目录

1. 常数项级数、几何级数、调和级数与p-级数
2. 级数收敛条件
3. 函数项级数与一致收敛性
4. 幂级数与幂级数运算规则
5. 函数展开成幂级数、泰勒级数与广义二项式定理
6. 微分方程的幂级数解法与欧拉公式
7. 傅里叶级数与卷积

幂级数需要分别判断级数收敛与和等于原函数；傅里叶展开则要指定点态或均方收敛，后者与希尔伯特空间中的投影相连。

级数的对象

以下说明整理自原有 Wikipedia 摘录。

级数（英语：Series）代表某序列之和，例如序列 $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ 的级数 $S_n$ 可以表示成 $S_n = a_1 + \ldots + a_n$，如果被取和的序列是有穷序列，相对应的级数被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。

级数的部分和组成一个序列（第 $n$ 项代表加到第 $n$ 个原始项）。就跟普通序列一样，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定义相应级数，前提是必须要有加法（如实数加法、向量加法与矩阵加法等等）。

如果某级数来自于对常数序列取和，则称之为常数（项）级数，如果来自于函数序列，则称之为函数（项）级数。

无穷级数不像有穷级数可以加到最后一项，所以作为替代，通常会尝试将项数趋近于无穷大来取“最终的和”，具体来说，也就是对级数 $S_n$ 取极限 $\lim_{n \to \infty} S_n$。如果这个极限存在，会仿造数列极限，将这个无穷级数称为收敛的（convergent）；反之称为发散的（divergent）。（更一般地，极限需要适当的拓扑；本课程以实数、欧氏空间和赋范空间中的距离为主）

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