积分变换法

对 $t$ 方向做拉普拉斯变换后，偏导数化为代数式（交换条件见拉普拉斯变换与偏导数的交换），PDE 化为以空间变量为自变量的常微分方程，解出像函数后再逆变换。

以半无界热传导为例：$u_t=\kappa u_{xx}$（$x>0$），$u(x,0)=0$，$u(0,t)=f(t)$，$u$ 有界。对 $t$ 变换得 $U_{xx}=\frac{s}{\kappa}U$，有界性排除增长解，故

$$U(x,s)=F(s)\,e^{-x\sqrt{s/\kappa}}$$

其逆变换（与热核的卷积）给出 $u(x,t)$。此法与分离变量法同属求解方法的积分变换路线，尤其适合定义在半无界区域、初边值条件随时间给定的问题。

逆变换的常用工具是部分分式展开与复积分（留数定理）；拉普拉斯变换在信号与系统、控制理论、积分方程求解中都有系统应用，是傅里叶变换在增长型与因果信号上的推广。