卷积

卷积描述了两个函数(信号)如何通过叠加来影响彼此, 是两个函数的二元算子, 使用 $*$ 表示

连续

函数$f$与$g$的卷积表示为:

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$

离散

两个幂级数 $\sum a_n (x-c)^n$ 与 $\sum b_n (x-c)^n$ 的乘积（柯西积）系数为卷积：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-c)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) (x-c)^n$$

其中 $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ 称为序列 $a_n$ 与 $b_n$ 的离散卷积。

一般地，两个离散序列 $f, g$ 的卷积为：

$$(f * g)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k] g[n-k]$$

性质

从中不难看出, 卷积满足以下性质

• 线性：$(f + g) * h = f * h + g * h$
• 交换律：$f * g = g * f$
• 结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$
• 标量结合律：$(a \cdot f) * g = a \cdot (f * g)$
• 分配律：$f * (g + h) = f * g + f * h$