级数收敛条件

定义

一个级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，取决于其部分和序列$S_n$是否收敛到一个有限值：

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k = L$$

其中 $L$ 是一个有限常数。

判断收敛的方法

判断级数收敛性时，首先要检查通项是否趋于 $0$。注意：$a_n \to 0$ 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。进一步判断时，常用以下方法：

1. 比较判别法（Comparison Test）：与已知收敛或发散的级数比较。
2. 极限比较判别法（Limit Comparison Test）：比较两个正项级数通项的极限比值。
3. 比值判别法（Ratio Test）：考察 $\left|a_{n+1}/a_n\right|$ 的极限。
4. 根值判别法（Root Test）：考察 $\sqrt[n]{|a_n|}$ 的极限。
5. 积分判别法（Integral Test）：将通项函数化，并通过反常积分判断。
6. 交错级数判别法（Alternating Series Test）：用于符号交替的级数。
7. 绝对收敛与条件收敛：通过 $\sum |a_n|$ 判断收敛类型。

常用判别法

这些判别法是分析级数收敛性的常用工具。使用时应先确认级数类型和判别法的适用条件，再选择合适方法判断收敛性。

1. 比较判别法

%%Comparison Test%%
对于非负项级数 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$：

• 如果存在常数 $C > 0$，使得对所有充分大的 $n$，都有 $0 \leq a_n \leq C b_n$，且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 也收敛。
• 如果存在常数 $C > 0$，使得对所有充分大的 $n$，都有 $0 \leq b_n \leq C a_n$，且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 也发散。

2. 极限比较判别法

%%Limit Comparison Test%%
对于非负项级数 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$，如果

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

其中 $0 < c < \infty$，则 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 同时收敛或同时发散。

3. 比值判别法

%%Ratio Test%%
对于级数 $\sum a_n$，若存在

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$$

则：

• 如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
• 如果 $L > 1$ 或 $L = \infty$，级数发散。
• 如果 $L = 1$，该判别法不适用。

4. 根值判别法

%%Root Test%%
对于级数 $\sum a_n$，若存在

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$$

则：

• 如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
• 如果 $L > 1$ 或 $L = \infty$，级数发散。
• 如果 $L = 1$，该判别法不适用。

5. 积分判别法

%%Integral Test%%
设 $a_n = f(n)$，其中 $f(x)$ 是正值、连续且单调递减函数，则级数 $\sum a_n$ 与反常积分

$$\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx$$

同时收敛或同时发散。

6. 交错级数判别法

%%Alternating Series Test%%
对于交错级数 $\sum (-1)^n a_n$ 或 $\sum (-1)^{n-1} a_n$，如果 $a_n \ge 0$，且 $a_n$ 单调递减并满足

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$

则该交错级数收敛。

7. 绝对收敛与条件收敛

• 如果级数 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
• 如果级数 $\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|$ 发散，则 $\sum a_n$ 条件收敛。