幂级数运算规则

以下讨论具有正收敛半径的幂级数。加减、柯西乘积与逐项微积分的函数等式在共同开收敛区间内成立；端点需另检验。

1. 加法与减法

给定两个幂级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-c)^n$$

的加法和减法分别定义为：

$$\sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) (x-c)^n$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} (a_n - b_n) (x-c)^n$$

这些运算是逐项进行的，结果的收敛半径至少是两个原始幂级数收敛半径的较小值。

2. 乘法

幂级数的乘法通过柯西积（卷积）进行：

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-c)^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-c)^n, \qquad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$$

3. 除法

两个幂级数，如果我们要计算它们的比值，通常更复杂，涉及到求系数的递归式。假设我们要计算：

$$\frac{\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n}{\sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-c)^n}$$

通常我们首先确保除数的常数项$b_0 \neq 0$。然后逐项求解商 $\sum q_n(x-c)^n$：

$$q_0=\frac{a_0}{b_0},\qquad q_n=\frac{a_n-\sum_{k=1}^n b_kq_{n-k}}{b_0}.$$

商只保证在中心附近解析；分母的零点可能缩小其收敛半径。例如 $1/(1+x^2)$ 的分子分母都是多项式，但商在零点的泰勒级数半径为 1。

4. 微分

幂级数可逐项微分。对于

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

其导数为：

$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-c)^{n-1}$$

这样的微分可以无限次进行，每次微分后幂级数的收敛半径不变。

5. 积分

幂级数的积分通过逐项积分进行。对于：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

其不定积分为：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x-c)^{n+1} + C$$

其中$C$是积分常数。积分操作也不改变原始幂级数的收敛半径。

幂级数的这些运算规则使其在数学和物理学的各个领域内极具应用价值，特别是在处理解析函数和求解微分方程时。