函数展开成幂级数

将函数 $f(x)$ 在收敛域内表示为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ 的过程。

方法

1. 直接法（泰勒展开）

若 $f$ 在 $x_0$ 附近光滑，可以构造其泰勒级数；只有余项对所讨论的 $x$ 趋于零时才有下面等号：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

即泰勒级数。级数自身收敛与其和等于原函数是两个判断；光滑但不等于自身泰勒级数的反例见 泰勒级数。

2. 间接法（幂级数运算）

从已知展开式出发，通过幂级数运算规则（四则运算、逐项微分、逐项积分、变量替换）得到新展开式。

常用展开式

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x|<1$
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad x \in \mathbb{R}$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \le 1$
• $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad |x|<1$（广义二项式定理）

收敛性与唯一性

幂级数展开在收敛域内唯一：若 $f = \sum a_n (x-x_0)^n$ 在 $x_0$ 邻域内成立，则 $a_n = f^{(n)}(x_0)/n!$。端点 $|x-x_0|=R$ 处的收敛性需单独判断。