在广义二项式定理中,当指数 α 为分数(特别是 ±1/2)时,其泰勒展开式的系数会系统性地产生双阶乘。
公式
f(n)=n!(2n−1)!!
这个公式的化简依赖双阶乘的性质:
n!(2n−1)!!=n!(2n)!/(2nn!)=2n(n!)2(2n)!=2n1(n2n)
示例
arcsin(x) 的泰勒展开:
arcsin(x) 的导数是 dxdarcsin(x)=(1−x2)−1/2。
我们对 f(u)=(1+u)−1/2 (令 u=−x2)使用广义二项式定理:
- α=−1/2
- x=u
其展开式的通项系数 (n−1/2) 为:
(n−1/2)=n!(−21)(−21−1)(−21−2)⋯(−21−n+1)=n!(−21)(−23)(−25)⋯(−22n−1)=2n⋅n!(−1)n⋅(1⋅3⋅5⋅…⋅(2n−1))=2nn!(−1)n(2n−1)!!
将 u=−x2 代回:
(1−x2)−1/2=n=0∑∞2nn!(−1)n(2n−1)!!(−x2)n=n=0∑∞2nn!(2n−1)!!x2n
对两边积分,即可得到 arcsin(x) 的展开式,其系数就包含了 n!(2n−1)!! 这一项。
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