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函数 f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x} 是一个几何级数，可以通过其基本性质直接求出其麦克劳林展开。麦克劳林展开实际上是泰勒展开在 x=0x = 0 处的特殊情形。对于 11−x\frac{1}{1-x}，我们可以通过直接将其视为无穷级数来进行展开，前提是 ∣x∣<1|x| < 1 以确保级数收敛。

这里的级数是几何级数的形式，其求和公式为：

∑n=0∞xn=11−x,for ∣x∣<1. \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad \text{for } |x| < 1.

这个级数的每一项都是 xx 的一个幂次，我们可以将其看作是函数 11−x\frac{1}{1-x} 的泰勒系数。由于泰勒系数是函数在展开点（此处为0）的 nn 阶导数除以 n!n!，我们来计算这些导数：

  1. 零阶导数（即函数本身）：

    f(x)=11−x f(x) = \frac{1}{1-x}

  2. 一阶导数：

    f′(x)=1(1−x)2 f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}

    当 x=0x=0 时，f′(0)=1f'(0) = 1。

  3. 二阶导数：

    f′′(x)=2(1−x)3 f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3}

    当 x=0x=0 时，f′′(0)=2f''(0) = 2。

  4. 三阶导数：

    f′′′(x)=6(1−x)4 f'''(x) = \frac{6}{(1-x)^4}

    当 x=0x=0 时，f′′′(0)=6f'''(0) = 6。

  5. 一般地，nn 阶导数：

    f(n)(x)=n!(1−x)n+1 f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}

    因此，当 x=0x=0 时，f(n)(0)=n!f^{(n)}(0) = n!。

利用泰勒级数的定义：

f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xn=∑n=0∞n!n!xn=∑n=0∞xn f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n

这个级数正是几何级数的表达形式，因此，我们得到函数 11−x\frac{1}{1-x} 在 ∣x∣<1|x| < 1 时的麦克劳林展开为：

f(x)=11−x=∑n=0∞xn. f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n.

这是一个在 ∣x∣<1|x| < 1 内收敛的无穷级数，是 11−x\frac{1}{1-x} 在 x=0x=0 处的泰勒（麦克劳林）展开。