计算使级数收敛的 $x$ 的范围通常涉及找出该级数的收敛半径和收敛区间。对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，我们可以使用以下方法来确定其收敛性：

1. 比例判别法（Ratio Test）

对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，使用比例判别法求收敛半径 $R$：

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$$

则：

$$R = \frac{1}{L}$$

若 $L = 0$，则 $R = \infty$，级数在整个复平面上收敛；若 $L = \infty$，则 $R = 0$，级数仅在 $x = 0$ 处收敛。

2. 根值判别法（Root Test）

根值判别法也可以用于找收敛半径：

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$$

则：

$$R = \frac{1}{L}$$

3. 收敛半径确定后

收敛半径 $R$ 确定后，幂级数在区间 $|x| < R$ 内绝对收敛，在 $|x| > R$ 外发散。在 $|x| = R$ 处，需要进一步分析收敛性，这可能包括使用交错级数判别法、比较判别法等。

示例

假设我们有幂级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

使用比例判别法：

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$$

因此，收敛半径 $R = \infty$，级数在整个复平面上收敛。

例子：找到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^n}{2^n}$ 的收敛范围

使用比例判别法：

$$a_n = \frac{n}{2^n}$$

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1) x^{n+1} / 2^{n+1}}{n x^n / 2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1) x}{2n} \right| = \frac{|x|}{2}$$

为使级数收敛，要求：

$$\frac{|x|}{2} < 1 \implies |x| < 2$$

因此，收敛半径 $R = 2$，级数在 $|x| < 2$ 内绝对收敛。

在边界点的分析

在 $|x| = R$ 处，进一步分析级数的收敛性：

• 对于 $x = 2$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot 2^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n$，显然发散。
• 对于 $x = -2$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot (-2)^n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n (-1)^n$，这也是发散的。

因此，最终的收敛区间是 $-2 < x < 2$。

总结来说，通过比例判别法或根值判别法计算收敛半径，然后结合其他判别方法分析边界点的情况，可以确定级数收敛的 $x$ 的范围。