傅氏变换是建立在傅氏积分基础上的, 一个函数除要满足狄氏条件外, 还要在 (−∞,+∞) 上绝对可积, 才有古典意义下的傅氏变换. 而绝对可积是一个相当强的条件, 即使是一些很简单的函数 (如线性函数、正弦与余弦函数等) 都不满足此条件.
引入 δ 函数后，傅氏变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但对于以指数级增长的函数仍无能为力。另外, 傅氏变换必须在整个实轴上有定义，但在工程实际问题中。许多以时间 t 作为自变量的函数在 t<0 时是无意义的，或者是不需要考虑的。因此在使用傅氏变换处理问题时, 具有一定的局限性。
能否找到一种变换，既具有类似于傅氏变换的性质，又能克服以上的不足呢？回答是肯定的。
拉普拉斯变换把定义在 t≥0 的函数 f(t) 映为复变量 s 的函数 F(s)，将时间方向的微分、积分运算化为 s 域代数运算，是求解偏微分方程与常微分方程的积分变换法核心工具。需先掌握反常积分、指数阶函数与卷积。
定义
设函数 f(t) 是定义在 [0,+∞) 上的实值函数, 如果对于复参数 s=β+jω , 积分
F(s)=L[f(t)]=∫0+∞f(t)e−stdt
在复平面 s 的某一区域内收敛，则称 F(s) 为 f(t) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为 F(s)=L[f(t)] ；相应地，称 f(t) 为 F(s) 的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为 f(t)=L−1[F(s)].
拉氏变换与傅氏变换的关系：
L[f(t)]=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−βt⋅e−jωtdt=∫−∞+∞f(t)u(t)e−βte−jωtdt=F[f(t)u(t)e−βt].
可见函数 f(t) 的拉氏变换就是 f(t)u(t)e−βt 的傅氏变换. 其基本想法是: 首先通过单位阶跃函数 u(t) 使函数 f(t) 在 t<0 的部分充零 (或者补零); 其次对函数 f(t) 在 t>0 的部分乘上一个衰减的指数函数 e−βt 以降低其“增长”速度, 这样就有希望使函数 f(t)u(t)e−βt 满足傅氏积分条件, 从而对它进行傅氏积分.
例题：分别求单位阶跃函数
u(t) 、符号函数
sgnt 以及函数
f(t)=1 的拉氏变换.
解：
由拉氏变换的定义有：
L[u(t)]L[sgnt]L[1]=∫0+∞u(t)e−stdt=∫0+∞e−stdt=s1(Res>0),=∫0+∞(sgnt)e−stdt=∫0+∞e−stdt=s1(Res>0),=∫0+∞1⋅e−stdt=s1(Res>0).
例子显示, 这三个函数的像函数是一样的, 这一点应不难理解. 现在的问题是对于像函数 F(s)=s1 (Res>0 ), 其像原函数到底是哪一个呢?
原则上讲, 所有在 t>0 时为 1 的函数均可作为像原函数, 这是因为在拉氏变换所应用的场合, 并不需要关心函数 f(t) 在 t<0 时的取值情况. 但为了描述方便, 一般约定: 在拉氏变换中所提到的函数 f(t) 均理解为当 t<0 时取零值.
例题：分别求函数
eαt,e−αt,ejωt 的拉氏变换（其中
α,ω 为实常数且
α>0 ）.
解：
由拉氏变换的定义有：
L[eαt]=∫0+∞eαte−stdt=α−s1e(α−s)tt=0+∞=s−α1(Res>α),L[e−αt]=s−(−α)1(Res>−α),L[ejωt]=s−jω1(Res>0).
