积分上限的函数及其导数

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x\in[a,b]$。对每个 $x$，定积分 $\int_a^x f(t)\,dt$ 的值随上限 $x$ 变化，称为积分上限的函数（变上限积分），记

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

导数公式

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导（端点取相应单侧导数），且

$$\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$$

即连续函数的变上限积分是它的一个原函数，牛顿-莱布尼茨公式正是由此推出。

复合上限

当上限是 $x$ 的函数 $\varphi(x)$ 时，由链式法则：

$$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)\,dt=f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$$

变下限

$$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^a f(t)\,dt=-f(\psi(x))\,\psi'(x)$$

证明与基本公式

对内点 $x$ 与足够小的非零 $h$，由积分的区间可加性，

$$\frac{\Phi(x+h)-\Phi(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}[f(t)-f(x)]\,dt.$$

右侧绝对值不超过该小区间上 $|f(t)-f(x)|$ 的上确界，由 $f$ 在 $x$ 连续而趋于零，因此 $\Phi'(x)=f(x)$。

若 $F$ 是 $f$ 的另一个原函数，则 $(F-\Phi)'=0$，由拉格朗日中值定理，$F-\Phi$ 在区间上为常数。又 $\Phi(a)=0$，故

$$\int_a^bf(t)\,dt=\Phi(b)=F(b)-F(a).$$

这就证明了牛顿-莱布尼茨公式。复合上限和变下限的公式还要求相应端点函数可导，其值落在 $f$ 连续的区间内。