积分上限的函数及其导数

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x\in[a,b]$。对每个 $x$，定积分 $\int_a^x f(t)\,dt$ 的值随上限 $x$ 变化，称为积分上限的函数（变上限积分），记

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

导数公式

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$$

即连续函数的变上限积分是它的一个原函数，牛顿-莱布尼茨公式正是由此推出。

复合上限

当上限是 $x$ 的函数 $\varphi(x)$ 时，由链式法则：

$$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)\,dt=f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$$

变下限

$$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^a f(t)\,dt=-f(\psi(x))\,\psi'(x)$$