定积分换元

$$\int _{a}^{b}f(x) \, dx=\int _{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]\phi'(t) \, dt$$

积分上下限根据被积变量变换.
如果使用分部积分法, 尤其要注意, 每一部分的上下限都是被积分变量决定的. 如果计算出最终的积分时积分变量变回 $x$, 那么积分上限也要跟着变回来, 也就是说, 不论换元后如何调整积分变量和上下限，最终的积分结果必须始终保持一致。这要求在换元过程中准确追踪上下限的变化关系，并在积分变量返回到原变量时，确保上下限也回归到与原变量对应的上下限。

在定积分的换元法中，积分上下限需要根据被积变量的变换进行调整。当进行变量替换 $x = \phi(t)$ 时，积分的上下限 $a$ 和 $b$ 会相应地变为 $\alpha$ 和 $\beta$，其中 $\alpha = \phi^{-1}(a)$ 和 $\beta = \phi^{-1}(b)$。新的积分限 $\alpha$ 和 $\beta$ 是原积分限 $a$ 和 $b$ 在变量替换下的逆映射。

公式的一组充分条件是 $f$ 在包含 $\phi([\alpha,\beta])$ 的区间上连续，$\phi\in C^1$，$\phi(\alpha)=a$、$\phi(\beta)=b$。由原函数与链式法则可证，带符号的 $\phi'$ 已处理方向；若希望通过 $\phi^{-1}$ 唯一选端点，另需选择单调可逆分支。一般连续 $f$ 的这条公式本身并不要求 $\phi$ 单调。

例如 $x=1-t$ 把 $\int_0^1x\,dx$ 化成 $\int_1^0(1-t)(-1)dt=1/2$。不能把 $\phi'$ 无条件换成绝对值而仍保留原上下限。