格林公式

闭曲线上的线积分等于由该闭曲线围成的区域上的二重积分。

设 $D$ 为有界平面区域，边界由有限条分段光滑简单闭曲线组成，$P,Q$ 在包含 $\overline D$ 的开集上具有一阶连续偏导数。取 $C=\partial D$，沿边界行进时区域在左侧（外边界逆时针，洞的边界顺时针），则：

$$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$$

如果定义向量场 $\mathbf{F}=(P,Q)$，则左边的 $P\,dx + Q\,dy$ 可以视为 $\mathbf{F}$ 与位移微元 $d\mathbf{r}=(dx, dy)$ 的点积 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$。

同时，右边积分中出现的项 $\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$ 即为该向量场的二维旋度 $(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}$。

因此，上述公式可以改写为：

$$\oint_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}$$

旋度 × 面积

当 $Q_x-P_y$ 为常数 $k$ 时，$\oint_C (P\,dx+Q\,dy)=k\cdot\text{区域面积}$，此时不必逐段计算边界积分，只需求区域面积，当边界为多边形时，面积可由鞋带公式用顶点坐标算出。

连通域

若平面区域 $D$ 内任意简单闭曲线所围成的区域全属于 $D$，则 $D$ 称为单连通域（无洞）；否则称为复连通域（有洞）

复连通域

对于复连通域，格林公式应该包含D内所有边界

保守场

若向量场$\mathbf{F}$是保守场, 则平面曲线积分与路径无关

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$$

二元函数的全微分

格林公式不要求 $P\,dx+Q\,dy$ 是某个函数的全微分；右侧旋度可以不为零。它与全微分的联系是：若场为保守场，该表达式是势函数的全微分，闭路积分为零；反向判定还需检查定义域的拓扑条件。

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示例

计算向量场 $\mathbf{F} = (-y, x)$ 沿单位圆周 $C$ 的线积分，其中单位圆周是 $x^2 + y^2 = 1$，方向为逆时针。

根据格林公式：

$$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$$

这里 $P = -y$ 和 $Q = x$，则：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$$

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1$$

于是：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$$

单位圆盘的面积 $A=\pi$，因此：

$$\iint_D 2 \, dA = 2 \times A = 2 \times \pi = 2\pi$$

所以，沿单位圆周的线积分为：

$$\oint_C (-y \, dx + x \, dy) = 2\pi$$