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保守场

GPT-6数学

定义

以下设 DD 为开连通区域，F\mathbf F 连续，积分路径分段光滑。若向量场 F\mathbf{F} 是某个标量函数 φ\varphi 的梯度，即

F=∇φ\mathbf{F} = \nabla \varphi

则称 F\mathbf{F} 在区域 DD 内为保守场（保守向量场），φ\varphi 称为其势函数（位函数）。

性质

保守场沿任意路径的曲线积分只与起终点有关：

∫CF⋅dr=φ(终点)−φ(起点)\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \varphi(\text{终点}) - \varphi(\text{起点})

若进一步 φ∈C2\varphi\in C^2（例如 F∈C1\mathbf F\in C^1），混合偏导相等，故 ∇×∇φ=0\nabla\times\nabla\varphi=0，保守场必是无旋场。

判定条件

设 F\mathbf{F} 在单连通区域 DD 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：

  1. F\mathbf{F} 是保守场，即存在势函数 φ\varphi 使 F=∇φ\mathbf{F}=\nabla\varphi；
  2. 沿 DD 内任意闭曲线 CC，∮CF⋅dr=0\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0；
  3. 曲线积分 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} 与路径无关，只与起终点有关；
  4. F\mathbf{F} 是无旋的，即 ∇×F=0\nabla\times\mathbf{F}=0。

若 DD 不是单连通，则"无旋"只是保守场的必要条件，不能推出保守场。

计算

  • 先求旋度 ∇×F\nabla\times\mathbf{F}。若 ∇×F≠0\nabla\times\mathbf{F}\neq 0，则 F\mathbf{F} 不是保守场。
  • 若 ∇×F=0\nabla\times\mathbf{F}=0 且区域单连通，则 F\mathbf{F} 是保守场；可再解 ∇φ=F\nabla\varphi=\mathbf{F} 求势函数。

示例

二维向量场 F=(2x,2y)\mathbf{F}=(2x,2y) 的旋度

∂(2y)∂x−∂(2x)∂y=0\frac{\partial(2y)}{\partial x}-\frac{\partial(2x)}{\partial y}=0

且其定义在全平面（单连通），故 F\mathbf{F} 是保守场。事实上 F=∇(x2+y2)\mathbf{F}=\nabla(x^2+y^2)，势函数为 φ=x2+y2\varphi=x^2+y^2。

穿孔区域的反例

在 D=R2∖{0}D=\mathbb R^2\setminus\{0\} 上，F=(−y/(x2+y2),x/(x2+y2))\mathbf F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) 为 C1C^1 且旋度为零，但沿逆时针单位圆 r(t)=(cos⁡t,sin⁡t)r(t)=(\cos t,\sin t)，有 F(r(t))⋅r′(t)=1\mathbf F(r(t))\cdot r'(t)=1，因此环流为 2π2\pi。它不是保守场。此处也不能在整个单位圆盘上使用格林公式，因为场在原点没有定义。

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