保守场

定义

若向量场 $\mathbf{F}$ 是某个标量函数 $\varphi$ 的梯度，即

$$\mathbf{F} = \nabla \varphi$$

则称 $\mathbf{F}$ 在区域 $D$ 内为保守场（保守向量场），$\varphi$ 称为其势函数（位函数）。

性质

保守场沿任意路径的曲线积分只与起终点有关：

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \varphi(\text{终点}) - \varphi(\text{起点})$$

又因 $\nabla\times\nabla\varphi=0$ 恒成立，保守场必是无旋场。

判定条件

设 $\mathbf{F}$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：

1. $\mathbf{F}$ 是保守场，即存在势函数 $\varphi$ 使 $\mathbf{F}=\nabla\varphi$；
2. 沿 $D$ 内任意闭曲线 $C$，$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0$；
3. 曲线积分 $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 与路径无关，只与起终点有关；
4. $\mathbf{F}$ 是无旋的，即 $\nabla\times\mathbf{F}=0$。

若 $D$ 不是单连通，则"无旋"只是保守场的必要条件，不能推出保守场。

计算

• 先求旋度 $\nabla\times\mathbf{F}$。若 $\nabla\times\mathbf{F}\neq 0$，则 $\mathbf{F}$ 不是保守场。
• 若 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 且区域单连通，则 $\mathbf{F}$ 是保守场；可再解 $\nabla\varphi=\mathbf{F}$ 求势函数。

示例

二维向量场 $\mathbf{F}=(2x,2y)$ 的旋度

$$\frac{\partial(2y)}{\partial x}-\frac{\partial(2x)}{\partial y}=0$$

且其定义在全平面（单连通），故 $\mathbf{F}$ 是保守场。事实上 $\mathbf{F}=\nabla(x^2+y^2)$，势函数为 $\varphi=x^2+y^2$。