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斯托克斯公式

2025/10/20数学公式

定义

斯托克斯公式最常见的形式定义在三维空间, 将曲面上的曲线积分与向量场作用在该曲面上的旋度的面积积分联系起来。三维空间的斯托克斯公式的标准形式

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

其中：

  • F\mathbf{F} 是三维空间向量场, 可写成对坐标轴的分量形式F=(Fx,Fy,Fz)\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) 。
  • drd\mathbf{r} 是曲线积分的微小路径元素。
  • ∂S\partial S 是曲面 SS 的边界曲线，取正方向（根据右手法则）。
  • ∇×F\nabla \times \mathbf{F} 是 F\mathbf{F} 的旋度。
  • dSd\mathbf{S} 是曲面积分的微小面积元素。

如果写成对坐标轴的分量形式，∇×F\nabla \times \mathbf{F} 可以改写为：

∇×F=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz∣=(∂Fz∂y−∂Fy∂z,∂Fx∂z−∂Fz∂x,∂Fy∂x−∂Fx∂y)\nabla \times \mathbf{F} =\left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array} \right| = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)

分量形式的斯托克斯公式将其写为三个分量的积分：

∮∂SF⋅dr=∮∂S(Fx dx+Fy dy+Fz dz) \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_{\partial S} (F_x \, dx + F_y \, dy + F_z \, dz)

∬S(∇×F)⋅dS=∬S((∂Fz∂y−∂Fy∂z)dSx+(∂Fx∂z−∂Fz∂x)dSy+(∂Fy∂x−∂Fx∂y)dSz) \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \left( \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) dS_x + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) dS_y + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) dS_z \right)

示例

例1

计算向量场 F=(0,0,z2)\mathbf{F} = (0, 0, z^2) 沿单位圆 CC 的线积分，其中单位圆 CC 是在 xyxy 平面上的边界，曲面 SS 是在 z=0z = 0 平面上的单位圆盘。

根据斯托克斯公式：

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

首先计算旋度：

∇×F=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂z00z2∣=(∂z2∂y−∂0∂z,∂0∂z−∂z2∂x,∂0∂x−∂0∂y)=(0,0,0) \nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & z^2 \end{array} \right| = \left( \frac{\partial z^2}{\partial y} - \frac{\partial 0}{\partial z}, \frac{\partial 0}{\partial z} - \frac{\partial z^2}{\partial x}, \frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial 0}{\partial y} \right) = (0, 0, 0)

旋度为 (0,0,0)(0, 0, 0)，因此：

∬S(∇×F)⋅dS=∬S(0,0,0)⋅dS=0 \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (0, 0, 0) \cdot d\mathbf{S} = 0

所以，沿单位圆周的线积分为：

∮∂S(0,0,z2)⋅dr=0 \oint_{\partial S} (0, 0, z^2) \cdot d\mathbf{r} = 0

例2

计算向量场 F=(y,−x,0)\mathbf{F} = (y, -x, 0) 沿单位圆周 CC 的线积分，其中单位圆周是 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，并位于 z=0z = 0 平面上。

根据斯托克斯公式：

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

首先计算旋度：

∇×F=(∂0∂y−∂(−x)∂z,∂y∂z−∂0∂x,∂(−x)∂x−∂y∂y)=(0,0,−1−(−1))=(0,0,−2) \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial (-x)}{\partial z}, \frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial (-x)}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} \right) = (0, 0, -1 - (-1)) = (0, 0, -2)

在 z=0z = 0 平面上，积分简化为：

∬S(0,0,−2)⋅dS=∬S(−2) dSz \iint_S (0, 0, -2) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (-2) \, dS_z

单位圆盘的面积 SS 为 π\pi，因此：

∬S(−2) dSz=−2×π=−2π \iint_S (-2) \, dS_z = -2 \times \pi = -2\pi

所以，沿单位圆周的线积分为：

∮∂S(y dx−x dy+0 dz)=−2π \oint_{\partial S} (y \, dx - x \, dy + 0 \, dz) = -2\pi

应用

斯托克斯公式用于将一个复杂的曲线积分转换为一个更容易计算的面积积分，在电磁学、流体力学和经典力学中都有广泛的应用。

推广

斯托克斯公式的三维形式只是其更一般的高维推广的一个特例。广义斯托克斯定理在任意维流形上都成立，其核心思想是：一个区域的边界上的积分可以转化为该区域内部的导数积分。这一定律在微分几何与理论物理中具有极其重要的地位。

广义形式写作：

∫∂Mω=∫Mdω\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega

其中：

  • MM 是一个带方向的 nn 维流形（例如平面、曲面或更高维超曲面）。
  • ω\omega 是定义在 MM 上的一个 (n−1)(n-1) 形式。
  • dωd\omega 是 ω\omega 的外导数。
  • ∂M\partial M 表示流形的边界。

这一定理统一了若干常见的积分定理：

  • 当 n=2n = 2 时，MM 为平面区域，公式化为格林定理：

    ∮CP dx+Q dy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA

  • 当 n=3n = 3 且 ω\omega 为 2-形式时，得到常见的斯托克斯定理：

    ∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

  • 当 n=3n = 3 且 ω\omega 为 3-形式时，化为高斯散度定理：

    ∭V(∇⋅F) dV=∬∂VF⋅dS\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}

格林定理、斯托克斯定理和高斯定理并非孤立存在，而是广义斯托克斯定理在不同维度上的投影形式。
在现代数学中，使用微分形式语言可以优雅地表达这一思想，避免对坐标系的依赖，使其在任意流形与任意坐标变换下依然成立。

要点总结：

  • 三维斯托克斯公式描述了曲线积分与旋度通量的对应关系；
  • 广义斯托克斯定理则描述了任意维度中，边界与内部导数积分之间的普适对应；
  • 这是几何与分析统一的核心定理之一，为电磁学、流体力学、拓扑量子场论等提供了基础结构。
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