曲率

曲率 $K$ 表示正则 $C^2$ 平面曲线在某点的弯曲程度

$$K=\lim_{\Delta s\rightarrow0}\Big|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\Big|=\Big|\frac{d\alpha}{ds}\Big|$$

微分过程: 曲线上某点到另一点移动的距离变化量的极限趋近于0
$\Delta\alpha$表示切线角度的变化量, 通过差商极限得到角度对弧长的导数，有限增量不能直接等同微分
$\Delta s$表示弧上两点间的弧长, 微分过程中$\Delta s$近似趋近于弧微分$ds$

计算

对 $y=f(x)$，令切线角 $\alpha=\arctan f'(x)$，结合弧微分得

$$K=\frac{|f''(x)|}{[1+f'(x)^2]^{3/2}}.$$

空间曲线以单位切向量 $\mathbf T=\mathbf r'/\|\mathbf r'\|$ 定义 $K=\|d\mathbf T/ds\|$，故

$$K=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}.$$

直线曲率为零；半径 $R>0$ 的圆取 $(R\cos t,R\sin t)$，得 $K=R^2/R^3=1/R$。在 $K>0$ 处，曲率半径为 $1/K$。