向量场通过曲面的流量/流动强度，表达为场的向量与面元法向量的点积的面积积分。计算通量时，需考虑向量场的方向和表面的法向方向, 一般定义由内向外为正方向。通量属于第二类曲面积分

公式

对于向量场 $\mathbf{F}$ 通过曲面 $S$ 的通量，定义为：

$$\Phi = \int\kern{-17mu}{\unicode{x25CB}}\kern{-20mu}\int_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

• $\mathbf{F}$ 是向量场
• $d\mathbf{S}$ 是曲面上的微小面积元素，其方向与表面法线方向一致。

通过向量场$\mathbf{F}$在微元${} \mathbf{dS}$处的法向量点乘结果进行累计(积分)计算.

应用

常用于描述物理学中的电场、磁场和流体力学中的流速等。

• 如果向量场 $\mathbf{F}$ 是电场，则通量表示通过表面的电场线数量；
• 如果向量场 $\mathbf{F}$ 是流速场，则通量表示通过表面的流体体积或质量。

示例

例1：球体表面

假设有一个向量场 $\mathbf{F} = (x, y, z)$，我们要计算它通过以原点为中心、半径为 $R$ 的球体表面的通量。

1. 向量场和表面：
   • $\mathbf{F} = (x, y, z)$
   • 球体表面 $S$ 的参数方程：$\mathbf{r}(\theta, \phi) = (R \sin \phi \cos \theta, R \sin \phi \sin \theta, R \cos \phi)$，其中 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 和 $0 \leq \phi \leq \pi$。
2. 法向量和面积元素：
   • 球体表面的法向量为 $\mathbf{n} = (x, y, z) / R = \mathbf{r} / R$
   • 面积元素：$dS = R^2 \sin \phi \, d\theta \, d\phi$
3. 计算通量：

$$\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi (R \sin \phi \cos \theta, R \sin \phi \sin \theta, R \cos \phi) \cdot (R \sin \phi \cos \theta, R \sin \phi \sin \theta, R \cos \phi) \, R^2 \sin \phi \, d\phi \, d\theta$$

$$= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi R^3 \sin^3 \phi \, d\phi \, d\theta + \int_0^{2\pi} \int_0^\pi R^3 \cos^2 \phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta$$

得到 $3\pi R^3$

例2：矩形表面

考虑一个向量场 $\mathbf{G} = (yz, xz, xy)$，要计算它通过一个边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形面（在 $xy$-平面，且平行于 $x$ 和 $y$ 轴）的通量。

1. 向量场和表面：
   • $\mathbf{G} = (yz, xz, xy)$
   • 矩形面：$0 \leq x \leq a$, $0 \leq y \leq b$, $z = 0$。
2. 法向量和面积元素：
   • 因为矩形位于 $xy$-平面上，所以法向量为 $(0, 0, 1)$。
   • 面积元素：$dS = dx \, dy \, \mathbf{k}$。
3. 计算通量：

   $$\int_{\text{矩形}} \mathbf{G} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^a \int_0^b (yz, xz, xy) \cdot (0, 0, 1) \, dx \, dy = \int_0^a \int_0^b xy \, dx \, dy$$

   $$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^a \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^b = \frac{a^2 b^2}{4}$$