二维或三维空间中，沿给定曲线对向量场进行积分，计算向量场与曲线切线方向的点乘在曲线上的积分。

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

解决变力沿曲线做功问题, 这里的F就可以理解为向量场(虽然并不一定是力场, 但可以等效), 即为每个位置r映射一个向量F, F沿着特定的方向r的分量即为所作的功

性质

与标量场的曲线积分类似, 拥有以下性质

• 线性
• 线积分区间可加性
• 积分路径的方向性

计算

二维情况下, 可将$\mathbf{F}$与$\mathbf{r}$分解为各坐标的分量

$$\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}=\int_LP(x,y)dx+\int_L Q(x,y)dy$$

曲线积分可转化为对坐标的积分

设L的参数方程($\alpha \le t \le \beta$)

$$\left\{ \begin{aligned} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{aligned} \right.$$

则对坐标的曲线积分可以转换为参数t的定积分

$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy =\int_a^b \left\{P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t) +Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\right\}dt$$

如果x,y的关系以$y=\phi(x)$形式给出, 则可以看作上面的一种特殊情况

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