同济版

用于解决不均质光滑曲线的质量问题

$$\int_L f(x,y)ds$$

• $f(x,y)$为密度分布
• ds为弧长的微元 由于微元取长度极限趋近于0，所以曲线可以无限趋近于直线，可以用勾股定理分解为dx和dy分量

这里描述为"求密度不均匀不规则弧线段的长度"可能不能指出这种积分的本质，这个积分的本质是对标量场的积分，为什么要强调标量场？因为标量场和向量场的积分行为会有不同, 见向量场的曲线积分

性质

线积分运算的线性

$$\int_L \left[af(x,y)+bf(x,y)\right]ds = a\int_L f(x,y)ds + b\int_L f(x,y)ds$$

可加性

$$\int_L f(x,y)ds=\int_{L_1} f(x,y)ds + \int_{L_2} f(x,y)ds$$

保序性

若$f(x,y)\leq g(x)$, 则

$$\int_L f(x,y) \, ds \leq \int_L g(x) \, ds$$

绝对值不等式

$$\left|\int_L f(x,y) \, ds\right| \leq \int_L |f(x)| \, ds$$

计算

设L的参数方程($\alpha \le t \le \beta$)

$$\left\{ \begin{aligned} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{aligned} \right.$$

则线积分可以转换为普通的定积分

$$\int_L f(x,y) \, ds = \int_{\alpha}^\beta f[\phi(t),\psi(t)]\sqrt{ (\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2 } \, dx$$