向量微分算子

$\nabla$ (nabla) 是向量微分算子, 算子作用于n维空间的向量, 同样得到一个n维向量.
对有正交坐标系的空间中每个维度求一阶偏导数所组成. 在三维直角坐标系中定义为:

$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$$

这个算子可以用于表示三维空间的梯度、散度和旋度:

梯度

对于标量场 $\phi(x, y, z)$, 梯度是一个向量场:

$$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$$

散度

对于向量场 $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$, 散度是一个标量场:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

旋度

对于向量场 $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$, 旋度是一个新的向量场:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$