高斯公式

常见的形式定义在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中, 描述三维向量场通过闭合曲面的通量等于场在封闭体积内散度的体积积分。
它同斯托克斯定理一样是更一般的广义斯托克斯定理在三维的特例。在--电磁学--和流体动力学均有应用。
在 $n$ 维欧氏空间也有边界通量与区域内散度积分的对应；下文专用三维向量记号。

标准形式

设 $V$ 为有界空间区域，$S=\partial V$ 为分段光滑闭合边界，$\mathbf A$ 在包含 $\overline V$ 的开集上为 $C^1$。边界取相对于 $V$ 的外法向；有内腔时，内边界法向指向腔内。

$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV = \iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$$

其中：

• $\mathbf{A}$ 是向量场。
• $d\mathbf{S} = n \, dS$ 表示表面上微小的面积元，方向由单位法向量 $n$ 指示。
• $dS$ 是微小的面积大小，$n$ 是表面外向法线方向的单位向量，因此 $d\mathbf{S} = n \, dS$ 表示带方向的面元素。

工程形式

在物理和工程中，更倾向于将散度定理写成：

$$\iint_S \mathbf{A} \cdot n \, dS$$

这种形式更直观地表达了物理意义：$n \, dS$ 仅表示表面面积元素的方向和大小，而 $\mathbf{A} \cdot n$ 表示矢量场 $\mathbf{A}$ 在法向方向上的通量（即流出表面的分量）。

实际上，这里:

$$\mathbf{A} \cdot n \, dS = \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$$

因此，这里的 $\mathbf{A} \cdot n \, dS$ 只是散度定理中的 $\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ 的另一种写法。$n$ 是表面的外向单位法线，表示 $d\mathbf{S}$ 的方向。

奇点检查

对 $\mathbf A(\mathbf r)=\mathbf r/\|\mathbf r\|^3$，原点外散度为零，但半径 $R$ 球面的外向通量为 $(1/R^2)\,4\pi R^2=4\pi$。不能以“散度为零”推出通量零，因为场在球体内的原点无定义。若挖去原点附近小球，散度定理可用于球壳；内外边界的通量分别为 $-4\pi$、$4\pi$，总和为零。