鞋带公式

定义

设 $P$ 是一个简单平面多边形，其顶点沿边界顺次记为

$$P_1=(x_1,y_1),\ P_2=(x_2,y_2),\ \dots,\ P_n=(x_n,y_n).$$

约定

$$P_{n+1}=P_1,\qquad x_{n+1}=x_1,\qquad y_{n+1}=y_1.$$

则多边形 $P$ 的面积记为 $S(P)$，并满足

$$S(P)=\frac12\left|\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i\bigr)\right|.$$

这就是鞋带公式（Shoelace Formula）。也就是说，把各项 $x_i y_{i+1}$ 相加，再减去各项 $x_{i+1} y_i$ 的和，取绝对值后除以 2。该公式对三角形、四边形以及任意简单多边形都成立。

图例

下图给出一个五边形示意图。顶点按边界顺次编号为 $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$，箭头表示编号方向。应用鞋带公式时，依次取相邻顶点对 $(P_i,P_{i+1})$，最后一项取 $(P_5,P_1)$。

行列式推导

两个从原点出发的向量 $\mathbf a=(x_i,y_i)$、$\mathbf b=(x_{i+1},y_{i+1})$ 张成的平行四边形，其有向面积是

$$\begin{vmatrix}x_i&y_i\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}=x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1},$$

三角形面积是它的一半。鞋带公式就是沿多边形边界走一圈，让每条边 $P_i\to P_{i+1}$ 与坐标原点 $O$ 组成一个有向三角形，再把有向面积相加：

$$A=\frac12\left|\sum_{\text{每条边 }P_iP_{i+1}}\det(P_i,P_{i+1})\right|.$$

原点不必在多边形内部：行列式的正负号自动完成加减，凹进去的部分以相反符号抵消，最后取绝对值得到普通面积。这正是行列式与叉乘面积含义的坐标形式，也即二维行列式＝三维叉乘的 $z$ 分量。

使用条件

• 顶点必须按边界顺序依次排列，最后接回第一个点，形成闭环。
• 凸、凹多边形都适用：有向面积自动抵消。
• 自相交多边形（如蝴蝶结）给出的是「代数面积」，正负区域可能抵消，不等于肉眼面积之和——通常要求简单多边形，即边不自相交。

应用

• 格林公式把闭曲线积分化为 $\iint_D(Q_x-P_y)\,dA$；当 $Q_x-P_y$ 为常数时，结果＝常数 × 多边形面积，此时面积就由鞋带公式直接算出。
• 一般多边形面积计算见任意多边形面积。