将闭曲线上的线积分转化为由该闭曲线围成的区域上的双重积分，广泛应用于场论与流体力学。

若连通域D内的函数$P(x,y)$$Q(x,y)$具有一阶连续的偏导数

$$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$$

如果定义向量场$\mathbf{F}=(P,Q)$, 则 左边$Pdx+Qdy$可以视为与 右边积分中出现的项 $\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$ 即为二维旋度。

将其改写为

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

连通域

若平面区域D内任意曲线L围成的的点都属于D，则D为单连通域，否则称为复连通域。通俗地说，单连通域内部没有洞

复连通域

对于复连通域，格林公式应该包含D内所有边界

保守场

若向量场$\mathbf{F}$是保守场, 则平面曲线积分与路径无关

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$$

二元函数的全微分

为了使用格林公式，必须要讨论函数$P(x,y)$, $Q(x,y)$在什么情况下表达式才是某个二元函数的的全微分

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示例

计算向量场 $\mathbf{F} = (-y, x)$ 沿单位圆周 $C$ 的线积分，其中单位圆周是 $x^2 + y^2 = 1$。

根据格林公式：

$$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$$

这里 $P = -y$ 和 $Q = x$，则：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$$

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1$$

于是：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$$

单位圆的面积 $D=\pi$，因此：

$$\iint_D 2 \, dA = 2 \times D = 2 \times \pi = 2\pi$$

所以，沿单位圆周的线积分为：

$$\oint_C (-y \, dx + x \, dy) = 2\pi$$