格林公式

闭曲线上的线积分等于由该闭曲线围成的区域上的二重积分。

若连通域 $D$ 内的函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 具有一阶连续偏导数，则：

$$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$$

如果定义向量场 $\mathbf{F}=(P,Q)$，则左边的 $P\,dx + Q\,dy$ 可以视为 $\mathbf{F}$ 与位移微元 $d\mathbf{r}=(dx, dy)$ 的点积 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$。

同时，右边积分中出现的项 $\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$ 即为该向量场的二维旋度 $(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k}$。

因此，上述公式可以改写为：

$$\oint_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}$$

连通域

若平面区域 $D$ 内任意闭曲线所围成的区域全属于 $D$，则 $D$ 称为单连通域（无洞）；否则称为复连通域（有洞）

复连通域

对于复连通域，格林公式应该包含D内所有边界

保守场

若向量场$\mathbf{F}$是保守场, 则平面曲线积分与路径无关

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$$

二元函数的全微分

为了使用格林公式，必须要讨论函数$P(x,y)$, $Q(x,y)$在什么情况下表达式才是某个二元函数的的全微分

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示例

计算向量场 $\mathbf{F} = (-y, x)$ 沿单位圆周 $C$ 的线积分，其中单位圆周是 $x^2 + y^2 = 1$。

根据格林公式：

$$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$$

这里 $P = -y$ 和 $Q = x$，则：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$$

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1$$

于是：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$$

单位圆的面积 $D=\pi$，因此：

$$\iint_D 2 \, dA = 2 \times D = 2 \times \pi = 2\pi$$

所以，沿单位圆周的线积分为：

$$\oint_C (-y \, dx + x \, dy) = 2\pi$$