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一般形式

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一般形式

三维空间中，沿给定曲面对向量场进行积分，评估向量场的法向分量穿过曲面的流量。解决流量分布不均匀的流体在有向曲面上流过的体积. 这是最一般的表达形式，适用于任何形状的曲面和任意向量场

∫\unicodex25CB∫CF⋅dS \int\kern{-17mu}{\unicode{x25CB}}\kern{-20mu}\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}

  • F\mathbf{F} 是向量场
  • dSd\mathbf{S} 是微元的法向量，一般会规定微元的正方向。

通过向量场F(u,v)\mathbf{F}(u,v) 在微元dS{} \mathbf{dS} 处的法向量点乘结果进行积分. 为此需要先计算微元dS\mathbf{dS} 处的法向量.

dS=(∂r∂u×∂r∂v)dudv d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du dv

r\mathbf{r}, ∂r∂θ\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} 和 ∂r∂z\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} 是向量。先对向量计算偏导数，再通过叉积得到法向量。

根据不同坐标系, 微元有不同形式, 下面总结三维直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，曲面积分微元 dSd\mathbf{S} 的不同形式

1. 三维直角坐标系

在三维直角坐标系下，曲面微元 dSd\mathbf{S} 的计算基于曲面的参数化形式 r(x,y)\mathbf{r}(x, y)，其中 x,yx, y 是曲面的参数。

  • 微元 dSd\mathbf{S}:

    dS=(∂r∂x×∂r∂y)dxdy d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right) dx dy

    这里，∂r∂x\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} 和 ∂r∂y\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} 是曲面在 xx 和 yy 方向的切向量，它们的叉积给出法向量的方向和大小。

2. 柱面坐标系

在柱面坐标系中，位置由 r,θ,zr, \theta, z 描述。如果考虑一个侧面，其参数化形式可以是 r(θ,z)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)\mathbf{r}(\theta, z) = (r \cos \theta, r \sin \theta, z)。

  • 微元 dSd\mathbf{S}:

    dS=(∂r∂θ×∂r∂z)dθdz=(rcos⁡θ,rsin⁡θ,0) rdθdz d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right) d\theta dz = (r \cos \theta, r \sin \theta, 0) \, r d\theta dz

    这里 rr 是常数（对于一个特定的圆柱侧面），dθdzd\theta dz 表示参数空间的面积元。

3. 球面坐标系

球面坐标系下，位置由 r,θ,ϕr, \theta, \phi 描述。曲面 r(θ,ϕ)=(rsin⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕsin⁡θ,rcos⁡ϕ)\mathbf{r}(\theta, \phi) = (r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi) 通常用来描述球面。

  • 微元 dSd\mathbf{S}:

    dS=(∂r∂θ×∂r∂ϕ)dθdϕ=(rsin⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕsin⁡θ,rcos⁡ϕ) r2sin⁡ϕdθdϕ d\mathbf{S} = \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi}\right) d\theta d\phi = (r \sin \phi \cos \theta, r \sin \phi \sin \theta, r \cos \phi) \, r^2 \sin \phi d\theta d\phi

    这里 rr 是球体的半径，sin⁡ϕdθdϕ\sin \phi d\theta d\phi 表示参数空间的面积元。

同济版

三维空间中, 向量场F=(P,Q,R)F=(P,Q,R) (PQR分别是x,y,z三个直角坐标系方向的分量) 穿过有向曲面的流量Φ\Phi 表示为以下形式:

Φ(x,y,z)=∬P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy \Phi(x,y,z)=\iint P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy

分量形式是特别为直角坐标系定制的，为了简化特定情况下的积分计算, 不具有一般性.

这是同济教材给出的形式，我认为只给出直角坐标形式十分具有误导性和混淆性，计算方法的顺序也很乱，不建议看。

这里所说的“对坐标”的含义主要在于向量场F=(P,Q,R)\mathbf{F} = (P, Q, R)中的分量P,Q,RP, Q, R，这些分量是与坐标轴x,y,zx, y, z相关的。第二类曲面积分计算的是向量场F\mathbf{F}与曲面SS的法向量dSd\mathbf{S}的点积，即考虑了空间中各点坐标的向量场分量与曲面方向的关系。这个点积结果F⋅dS\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}实际上是向量场各分量与对应坐标轴的面积分元素（如dxdy,dydz,dzdxdxdy, dydz, dzdx）相乘的总和，这也就是“对坐标”的意义所在。

因此，尽管直接的表达式中不显式出现“坐标”这个词，但这种积分方式实际上是在通过曲面积分来考察向量场中每个坐标分量的贡献。这也是为什么它被称为“对坐标的曲面积分”。在更详细的分解中，我们可以将F⋅dS\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}展开为：

F⋅dS=Pdydz+Qdxdz+Rdxdy \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = P dy dz + Q dx dz + R dx dy

在这里，P,Q,RP, Q, R是向量场F\mathbf{F}的坐标分量，dydz,dxdz,dxdydy dz, dx dz, dx dy是与坐标平面相对应的面积元，这就是对坐标分量的积分表示。这种表示方式使得积分的计算与坐标轴密切相关，从而体现出“对坐标”的命名来源。

Wikipedia

考虑曲面 SS 上的向量场 v\mathbf{v}，对于曲面 SS 上的每个点 x，向量 v(x)\mathbf{v}(x) 是一个向量。想象一个穿过 SS 的液体流，使得 v(x)\mathbf{v}(x) 决定液体在 xx 的速度。则流量定义为单位时间穿过 SS 的液体量。

这个解释意味着，如果向量场和 SS 在每点相切，则流量为 0，因为液体平行于 SS 流动，从而不进不出。这也意味着如果 v\mathbf{v} 不仅仅沿着 SS 流动，即如果 v\mathbf{v} 既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取 v\mathbf{v} 和 SS 上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下：

∫Sv⋅ dS=∫S(v⋅n) dS=∬Tv(x(s,t))⋅(∂x∂s×∂x∂t)ds dt. \int _{S}{\mathbf{v} }\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,\mathrm {d} S=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式定义为向量场 v\mathbf{v} 在 SS 上的面积分。