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PKM-er大约 2 分钟

计算标量场在曲面上的积分, 评估曲面上函数值乘以曲面元素面积的总和, 适用于求解物理量在曲面上的分布.

∫\unicodex25CB∫Cf(x,y,z) dS \int\kern{-17mu}{\unicode{x25CB}}\kern{-20mu}\int_{C} f(x, y, z) \, dS

解决不均匀曲面的质量问题

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要计算面积分, 首先在SS上建立坐标系, 令SS参数化为x(s,t)\mathbf{x}(s, t), 其中(s,t)(s, t)在某个平面上的区域TT中变化. 由于法向量垂直于表面微元dS, 我们可以找dS切面上两个向量做外积, 结果就满足法向量的要求, 我们可以选取参数s,t的偏导数做外积

则函数ff在曲面SS的面积分为:

∬Sf dS=∬Tf(x(s,t))∣∂x∂s×∂x∂t∣ds dt \iint_S f \, dS = \iint_T f(\mathbf{x}(s,t)) \left| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t} \right| ds \, dt

其中∣∂x∂s×∂x∂t∣\left| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t} \right|是x(s,t)\mathbf{x}(s, t)的偏导数的外积的向量的长度. 此外, ∣∂x∂s×∂x∂t∣ds dt\left| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t} \right| ds \, dt在微分几何里又被称为流形SS的面积元素 (Surface element) .

dS=1cos⁡(θ)dxdy=(∂z∂x)2+(∂z∂y)2+1 dS=\frac{1}{\cos(\theta)}dxdy=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+1}

Example

要找出由函数 z=f(x,y)z = f(x, y) 描述的曲面的面积, 可以使用以下公式:

A=∬TdS=∬T∣∂x∂s×∂x∂t∣ ds dt A = \iint_{T} dS = \iint_{T} \left| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t} \right| \, ds \, dt

其中, x=(x,y,z)=(x,y,f(x,y))\mathbf{x} = (x, y, z) = (x, y, f(x, y)). 因此,

∂x∂x=(1,0,∂f∂x)且∂x∂y=(0,1,∂f∂y) \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x} = \left(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \right) \quad \text{且} \quad \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y} = \left(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y} \right)

因此,

∣∂x∂x×∂x∂y∣=∣(1,0,∂f∂x)×(0,1,∂f∂y)∣ \left| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y} \right| = \left| \left(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \right) \times \left(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \right|

计算叉积:

(1,0,∂f∂x)×(0,1,∂f∂y)=(−∂f∂x,−∂f∂y,1) \left(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x} \right) \times \left(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( -\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right)

因此,

∣(−∂f∂x,−∂f∂y,1)∣=(−∂f∂x)2+(−∂f∂y)2+1 \left| \left( -\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right) \right| = \sqrt{\left( -\frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( -\frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1}

即

∣∂x∂x×∂x∂y∣=(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+1 \left| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial y} \right| = \sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1}

所以曲面的面积公式为:

A=∬T(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+1 dx dy A = \iint_{T} \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1 } \, dx \, dy

这就是一般以 (x,y,z=f(x,y))(x, y, z = f(x, y)) 为参数的曲面其面积的标准公式. 可以注意到, 第二行中的向量 (−∂f∂x,−∂f∂y,1)\left( -\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right) 是曲面的法向量.

这个公式只在曲面嵌入在三维空间中时才成立.