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定义

斯托克斯公式定义在三维空间, 将曲面上的曲线积分与向量场作用在该曲面上的旋度的面积积分联系起来。斯托克斯公式的标准形式

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

其中：

  • F\mathbf{F} 是三维空间向量场, 可写成对坐标轴的分量形式F=(Fx,Fy,Fz)\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) 。
  • drd\mathbf{r} 是曲线积分的微小路径元素。
  • ∂S\partial S 是曲面 SS 的边界曲线，取正方向（根据右手法则）。
  • ∇×F\nabla \times \mathbf{F} 是 F\mathbf{F} 的旋度。
  • dSd\mathbf{S} 是曲面积分的微小面积元素。

如果写成对坐标轴的分量形式，∇×F\nabla \times \mathbf{F} 可以改写为：

∇×F=(∂Fz∂y−∂Fy∂z,∂Fx∂z−∂Fz∂x,∂Fy∂x−∂Fx∂y) \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)

分量形式的斯托克斯公式将其写为三个分量的积分：

∮∂SF⋅dr=∮∂S(Fx dx+Fy dy+Fz dz) \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_{\partial S} (F_x \, dx + F_y \, dy + F_z \, dz)

∬S(∇×F)⋅dS=∬S((∂Fz∂y−∂Fy∂z)dSx+(∂Fx∂z−∂Fz∂x)dSy+(∂Fy∂x−∂Fx∂y)dSz) \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \left( \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) dS_x + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) dS_y + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) dS_z \right)

示例

例1

计算向量场 F=(0,0,z2)\mathbf{F} = (0, 0, z^2) 沿单位圆 CC 的线积分，其中单位圆 CC 是在 xyxy 平面上的边界，曲面 SS 是在 z=0z = 0 平面上的单位圆盘。

根据斯托克斯公式：

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

首先计算旋度：

∇×F=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂z00z2∣=(∂z2∂y−∂0∂z,∂0∂z−∂z2∂x,∂0∂x−∂0∂y)=(0,0,0) \nabla \times \mathbf{F} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & z^2 \end{array} \right| = \left( \frac{\partial z^2}{\partial y} - \frac{\partial 0}{\partial z}, \frac{\partial 0}{\partial z} - \frac{\partial z^2}{\partial x}, \frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial 0}{\partial y} \right) = (0, 0, 0)

旋度为 (0,0,0)(0, 0, 0)，因此：

∬S(∇×F)⋅dS=∬S(0,0,0)⋅dS=0 \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (0, 0, 0) \cdot d\mathbf{S} = 0

所以，沿单位圆周的线积分为：

∮∂S(0,0,z2)⋅dr=0 \oint_{\partial S} (0, 0, z^2) \cdot d\mathbf{r} = 0

例2

计算向量场 F=(y,−x,0)\mathbf{F} = (y, -x, 0) 沿单位圆周 CC 的线积分，其中单位圆周是 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，并位于 z=0z = 0 平面上。

根据斯托克斯公式：

∮∂SF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

首先计算旋度：

∇×F=(∂0∂y−∂(−x)∂z,∂y∂z−∂0∂x,∂(−x)∂x−∂y∂y)=(0,0,−1−(−1))=(0,0,−2) \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial (-x)}{\partial z}, \frac{\partial y}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial (-x)}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} \right) = (0, 0, -1 - (-1)) = (0, 0, -2)

在 z=0z = 0 平面上，积分简化为：

∬S(0,0,−2)⋅dS=∬S(−2) dSz \iint_S (0, 0, -2) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (-2) \, dS_z

单位圆盘的面积 SS 为 π\pi，因此：

∬S(−2) dSz=−2×π=−2π \iint_S (-2) \, dS_z = -2 \times \pi = -2\pi

所以，沿单位圆周的线积分为：

∮∂S(y dx−x dy+0 dz)=−2π \oint_{\partial S} (y \, dx - x \, dy + 0 \, dz) = -2\pi

应用

斯托克斯公式用于将一个复杂的曲线积分转换为一个更容易计算的面积积分，在电磁学、流体力学和经典力学中都有广泛的应用。