曲线外积积分

示例

给定三维向量场：

$$\mathbf{F} = \left(-\frac{xy}{4}\right)\mathbf{i} + (z-x)\mathbf{j} + (x+y)\mathbf{k}$$

以及参数曲线：

$$x = \frac{y^2}{8}, \quad y = -z$$

从 点$(0, 0, 0)$ 到 点$\left(\frac{9}{2}, 6, -6\right)$

计算向量场的曲线外积积分：

$$\int_C \mathbf{F} \times d\mathbf{r}.$$

解答步骤

1. 曲线的参数化
   设 $t = z$，则：

$$y = -t, \quad x = \frac{(-t)^2}{8} = \frac{t^2}{8}.$$

曲线参数化为：

$$\mathbf{r}(t) = \frac{t^2}{8}\mathbf{i} - t\mathbf{j} + t\mathbf{k}, \quad t:0\to-6.$$

求导得到：

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{t}{4}\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$

2. 向量场的参数化
   将 $x = \frac{t^2}{8}, y = -t, z = t$ 代入 $\mathbf{F}$：

$$\mathbf{F} = \frac{t^3}{32}\mathbf{i} + \left(t - \frac{t^2}{8}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{t^2}{8} - t\right)\mathbf{k}.$$

3. 外积计算
   计算 $\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt}$：

$$\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{t^3}{32} & t - \frac{t^2}{8} & \frac{t^2}{8} - t \\ \frac{t}{4} & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$

展开计算得：

$$\mathbf{F} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} = -\frac{t^2}{4}\mathbf{j} - \frac{t^2}{4}\mathbf{k}.$$

4. 积分计算
   逐分量计算积分：

• $\mathbf{j}$ 分量：

$$\int_0^{-6} -\frac{t^2}{4} dt = 18.$$

• $\mathbf{k}$ 分量：

$$\int_0^{-6} -\frac{t^2}{4} dt = 18.$$

最终结果为：

$$\int_C \mathbf{F} \times d\mathbf{r} = 18\mathbf{j} + 18\mathbf{k}.$$

此积分为向量，按分量积分定义：$\int_C\mathbf F\times d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\times\mathbf r'(t)\,dt$。本题参数为 $z$，终点的 $z=-6$，因此必须从 0 积到 $-6$。结果为 $(0,18,18)$；反向曲线则变号。它不同于取点积、结果为标量的向量场的曲线积分。