泰勒展开中的双阶乘

在广义二项式定理中，当指数 $\alpha$ 为分数（特别是 $\pm 1/2$）时，其泰勒展开式的系数会系统性地产生双阶乘。

公式

$$f(n) = \frac{(2n-1)!!}{n!}$$

这个公式的化简依赖双阶乘的性质：

$$\frac{(2n-1)!!}{n!} = \frac{(2n)! / (2^n n!)}{n!} = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} = \frac{1}{2^n}\binom{2n}{n}$$

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示例

$arcsin(x)$ 的泰勒展开:
$\arcsin(x)$ 的导数是 $\frac{d}{dx}\arcsin(x) = (1-x^2)^{-1/2}$。

在 $|x|<1$ 内，令 $u=-x^2$。我们对 $f(u) = (1+u)^{-1/2}$ （令 $u = -x^2$）使用广义二项式定理：

• $\alpha = -1/2$
• $x = u$

其展开式的通项系数 $\binom{-1/2}{n}$ 为：

$$\begin{align*} \binom{-1/2}{n} &= \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots(-\frac{1}{2}-n+1)}{n!} \\ &= \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\cdots(-\frac{2n-1}{2})}{n!} \\ &= \frac{(-1)^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1))}{2^n \cdot n!} \\ &= \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} \end{align*}$$

将 $u = -x^2$ 代回：

$$(1-x^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} x^{2n}$$

在收敛区间内从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，即可得到 $\arcsin(x)$ 的展开式，其系数就包含了 $\frac{(2n-1)!!}{n!}$ 这一项。

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其他相关

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从 0 积到 $x$ 后的完整展开为

$$\arcsin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{2^n n!(2n+1)}x^{2n+1},\qquad |x|<1.$$

前几项为 $x+x^3/6+3x^5/40+5x^7/112+\cdots$。$n=0$ 用 $(-1)!!=1$。逐项积分由紧子区间内一致收敛保证，不是仅凭每项有原函数；端点还需单独收敛论证。