曲率（曲线论）

曲率度量"曲线在某点弯得多厉害"：直线曲率为 0，半径为 $R$ 的圆曲率为 $1/R$，圆越小弯得越急。它是微积分中平面曲率概念向空间曲线的推广，也是挠率（扭转程度）的"搭档"。

需先掌握弧长参数化与Frenet标架；平面情形见微积分曲率。

定义

设 $\vec{r}(s)$ 为弧长参数化曲线，$T(s)=\vec{r}'(s)$ 为单位切向量。曲率

$$\kappa(s)=\|T'(s)\|=\|\vec{r}''(s)\|$$

几何意义：切向量方向随弧长变化的速率。

一般参数公式

对任意正则参数化 $\vec{r}(t)$：

$$\kappa(t)=\frac{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^3}$$

• 平面曲线 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$：$\kappa=\dfrac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$
• 曲率半径 $\rho=1/\kappa$，即密切圆（曲率圆）的半径

性质

• 直线处处 $\kappa=0$；圆 $\kappa=1/R$ 恒定
• 曲线论中的曲率取非负值 $\kappa\ge 0$；平面曲线的符号版本见平面曲线
• 若 $\vec{r}''(s)=0$，则主法向量未定义，需要 $\kappa(s)\ne 0$

示例

• 圆柱螺旋线 $\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$：$\kappa=\dfrac{a}{a^2+b^2}$
• 摆线 $\vec{r}(t)=(t-\sin t,\,1-\cos t)$：$\kappa=\dfrac{1}{4|\sin(t/2)|}$

应用

曲率进入Frenet-Serret公式（$T'=\kappa N$），是曲线论基本定理给出的"曲线编码"之一；曲面论中推广为主曲率与高斯曲率。