平面曲线

平面曲线是空间曲线论的特例：挠率恒为 0，曲率带上符号后成为完整的形状不变量。它衔接微积分中的平面曲率与完整的曲线论框架，也是最丰富的经典对象（圆、椭圆、摆线等）。

需先掌握曲率（含平面情形公式）与弧长参数化；微积分曲率给出非负版本。

符号曲率

平面曲线 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$ 的符号曲率（有向曲率）

$$\kappa_s=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$$

$\kappa_s>0$ 表示曲线在该点逆时针弯曲；其绝对值就是曲率 $\kappa=|\kappa_s|$。

旋转指标定理

设 $\gamma$ 为平面中的正则闭曲线，切向量 $T$ 绕行一周的总转角满足

$$\oint \kappa_s\,ds=2\pi\,\operatorname{ind}(\gamma)$$

其中 $\operatorname{ind}(\gamma)\in\mathbb{Z}$ 为旋转指标（回旋数）：逆时针绕一圈的凸曲线指标为 $1$。

凸曲线

闭平面曲线为凸（整条曲线位于任一点切线的同一侧）当且仅当符号曲率不变号。

示例

• 圆 $\vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t)$：$\kappa_s=1/R$，旋转指标 $1$
• 椭圆：$\kappa_s$ 在长轴端点取最大值、短轴端点取最小值，但符号不变
• 摆线（一个拱）：$\kappa_s=\dfrac{1}{4\sin(t/2)}$（$t\in(0,2\pi)$ 时为正）

应用

旋转指标是拓扑学中环绕数与指标理论的雏形；渐伸线与渐屈线是平面曲线的重要构造。