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双曲函数恒等式

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双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数恒等式

cosh⁡(x)−sinh⁡(x)=1 \cosh(x)-\sinh(x)=1

虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果xx是实数而i2=−1i^2 = -1，则

cos⁡(ix)=cosh⁡(x),−isin⁡(ix)=sinh⁡(x). \cos(ix) = \cosh(x),\quad -i\sin(ix) = \sinh(x).

所以双曲函数cosh⁡\cosh和sinh⁡\sinh可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成cosh⁡\cosh函数，后者形成了sinh⁡\sinh函数。cos⁡\cos函数的无穷级数可从cosh⁡\cosh得出，通过把它变为交错级数，而sin⁡\sin函数可来自将sinh⁡\sinh变为交错级数。上面的恒等式使用虚数ii，从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)n(-1)^n，来恢复为指数函数的那两部分级数。

ex=cosh⁡x+sinh⁡x e^x = \cosh x + \sinh x

cosh⁡x=∑n=0∞x2n(2n)!,sinh⁡x=∑n=0∞x2n+1(2n+1)! \cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!},\quad \sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)! \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}

通过虚数圆角定义

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

双曲正弦： sinhx=−isin⁡(ix)sinh x = -i\sin(ix)

双曲余弦： cosh⁡x=cos⁡(ix)\cosh x = \cos(ix)

双曲正切： tanh⁡x=−itan⁡(ix)\tanh x = -i\tan(ix)

双曲余切： coth⁡x=icot⁡(ix)\coth x = i\cot(ix)

双曲正割： sech⁡x=sec⁡(ix)\operatorname{sech} x = \sec(ix)

双曲余割： csch⁡x=icsc⁡(ix)\operatorname{csch} x = i\csc(ix)

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。