$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

如果 $P(x)$, $Q(x)$ 为常数, 则函数将变为

$$y''+py'+qy=0$$

从前一章的讨论中可以得出： 二阶线性微分方程解的结构

求解

当 $r$ 是常数时，指数函数$y=e^{rx}$ 及其导数只相差一个常数因子。 由于指数函数 $y=e^{rx}$ 具有这一特征，因此我们可以试着选择一个合适的常数 r 来满足方程

求得$y'=re^{rx}$, $y''=r^{2}e^{rx}$ 带入齐次方程, 得到特征方程:

$$(r^{2}+pr+q)e^{ rx }=0$$

由于 $e^{ rx }\neq 0$, $r^{2}+pr+q=0$ 由此可见, 只要r满足这个代数方程, 这个指数函数就是微分方程的解. 这个代数方程称为微分方程的特征方程

根据二次方程求根公式分三种情况, 相应地, 微分方程的通解也有三种情况

1. $\Delta > 0$

方程有两个不相等的实数根

$$r_{1,2}=\dfrac{-p \pm \sqrt{ p^{2}-4q }}{2}$$

通解:

$$y=C_{1}e^{ r_{1}x }+C_{2}e^{ r_{2}x }$$

利用双曲正弦和双曲余弦函数的定义：

$$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

可以重新表达解为：

$$y(x)=C_1\sinh(x)+C_2\cosh(x)$$

2. $\Delta = 0$

方程有两个相等的实数根

$$r_{1}=r_{2}=-\dfrac{p}{2}$$

$$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{ r_{1}x }$$

3. $\Delta < 0$

方程有两个复数根, $r_{1}=\alpha+\beta i$, $r_{2}=\alpha-\beta i$ 其中 $\alpha=-\dfrac{p}{2}$, $\beta=\dfrac{\sqrt{ 4q-p^{2} }}{2}$ 通解:

$$y=(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x))e^{ \alpha x }$$

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相关链接

• 复系数齐次线性微分方程