悬链线

悬链线（catenary）是描述一条均匀、柔软、不可伸长、仅受均匀重力的绳索或链条悬挂在两个支点之间的形状的曲线。悬链线的方程在直角坐标系中，以最低点横坐标为零、竖直原点适当选择时为：

$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) =\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$$

其中，$\cosh(x)$ 是双曲余弦函数，
双曲余弦

参数 $a>0$ 是一个常数，表示悬链线的形状参数，它与链条的张力和密度有关。

如果我们考虑悬链线在其最低点（对应于 $x = 0$ ）时的最低高度 $y_0$，则方程可以写成：

$$y = y_0 + a \left(\cosh\left(\frac{x}{a}\right) - 1\right)$$

这样，悬链线的最低点位于 $y = y_0$ 处，而最低点的横坐标为 $x = 0$。

从微分方程求形状

若单位弧长重量为 $w>0$，张力水平分量为常数 $H>0$，则 $a=H/w$，平衡给出 $y''=\sqrt{1+(y')^2}/a$。令 $p=y'$，由高阶微分方程降阶：

$$\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{dx}{a},\qquad p=\sinh\frac{x-x_0}{a}.$$

再积分得 $y=y_0+a[\cosh((x-x_0)/a)-1]$，最低点为 $(x_0,y_0)$。代回利用 $\sqrt{1+\sinh^2t}=\cosh t$ 可验证。若重量按水平长度均匀分布，模型改为 $y''$ 常数，得到抛物线，不是悬链线。