朗斯基行列式（Wronskian determinant）用来判断一组函数是否线性相关，在微分方程中非常有用。

定义

给定$n$个可微函数$y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$，其朗斯基行列式$W(y_1, y_2, \dots, y_n)$定义为：

$$W(y_1, y_2, \dots, y_n)(x) = \det \begin{bmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{bmatrix},$$

其中 $y_i^{(k)}(x)$表示函数$y_i(x)$的第$k$次导数。

性质

1. 线性无关性判定：如果在某一点$x_0$或某个区间上朗斯基行列式$W(y_1, y_2, \dots, y_n) \neq 0$，则这组函数在该点或区间上线性无关。反之，如果$W(y_1, y_2, \dots, y_n) = 0$在一个区间上恒成立，那么这组函数在该区间上线性相关。

应用

• 验证解的独立性
• 证明解的存在性和唯一性。