可分离变量的微分方程

微分方程的一般形式为：

$$\frac{dy}{dx} = P(x,y)$$

Info

如果某微分方程的右端函数${} P(x,y) {}$可以通过移项化为下列形式, 则称为可分离变量

$$\frac{dy}{dx} = P(x,y)=g(x)h(y)$$

其中，$g(x)$ 和 $h(y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的单变量函数。求解这类方程的步骤包括：

1. 分离变量：将方程改写为 $\frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$，使得 $y$ 相关的项和 $x$ 相关的项分开。
2. 两边积分：分别对两边进行积分，即计算 $\int \frac{1}{h(y)}dy$ 和 $\int g(x)dx$。
3. 求解：通过积分得到函数表达式或隐函数形式的解。

Example

$\frac{dy}{dx} = xy$ 可以改写为 $\frac{1}{y}dy = xdx$，积分得到 $\ln|y| = \frac{1}{2}x^2 + C$

可分离变量的微分方程是最简单也最易求解的微分方程类型之一.
通常更复杂的微分方程需要通过转化为已知解法的简单微分方程求解, 如齐次方程和一阶线性微分方程

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偏微分方程

以二维拉普拉斯方程为例：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

假设解$u(x,y)$可以写成 $u(x, y) = g(x)h(y)$ 的形式，将条件带入方程，分离变量后可以写成：

$$h(y) \frac{d^2 g(x)}{dx^2} + g(x) \frac{d^2 h(y)}{dy^2} = 0$$

关键点在于认识到 $\frac{1}{h(y)} \frac{d^2 h(y)}{dy^2}$ 只依赖于 $y$，而 $\frac{1}{g(x)} \frac{d^2 g(x)}{dx^2}$ 只依赖于 $x$。这两个表达式必须加在一起等于零。由于它们分别依赖于独立的变量 $x$ 和 $y$，在直积区域内，这意味着两个表达式分别等于相反的常数。因此：

$$\frac{d^2 g(x)}{dx^2} \cdot \frac{1}{g(x)} = - \frac{d^2 h(y)}{dy^2} \cdot \frac{1}{h(y)} = \lambda$$

除法与漏解

分离时先取 $h(y)\ne0$ 的区间；若 $h(c)=0$，需另补平衡解 $y\equiv c$。例如 $y'=xy$ 的完整解为 $y=Ce^{x^2/2}$，$C\in\mathbb R$，包含分离时排除的零解。若右端不满足局部唯一性条件，还要检查解在零点的拼接可能性。

偏微分方程中的“分离变量”是在寻找乘积形式的特殊解，并非断言每个解均为一个乘积。上面的除法只在 $g,h$ 非零处使用；得到 $g''=\lambda g$、$h''=-\lambda h$ 后，可直接代入原方程验证并延伸至其零点。满足具体边界条件的一般解往往需叠加多个分离解，涉及傅里叶级数及收敛条件。