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$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$$

1. 当$c_1=c_2=0$ 时, 方程是齐次的
2. 当$c_1=c_2\neq0$ 时, 方程是非齐次的, 但可用下列方法变换化为齐次方程:

令$x=X+h$, $y=Y+k$ , (此处的h,k均为待定数, 可以为任意值) 则$dx=dX$, $dy=dY$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y+a_1h+b_1k+c_1}{a_2X+b_2Y+a_2h+b_2k+c_2}$$

如果后面的常系数构成的方程组满足

$$\bigg\lbrace{ \begin{align} a_1h+b_1k&+c_1=0\\ a_2h+b_2k&+c_2=0\\ \end{align}}$$

1. 且方程组的系数矩阵满足

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\neq 0$$

则方程可化为齐次方程, 求出通解

$$\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}$$

求出通解后, 根据$x=X+h$, $y=Y+k$ 代换回$x$, $y$ 便得原方程通解

2. 若无法求出$h$, $k$

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}= 0$$

令$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\lambda$ , 则方程可化为:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\lambda(a_1x+b_1y)+c_2}$$

换元 $v=a_1x+b_1y$ , $\frac{dv}{dx}=a_1+b_1\frac{dy}{dx}$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b_1}(\frac{dv}{dx}-a_1)=\frac{v+c_1}{\lambda v+c_2}$$

这是可分离变量的微分方程

此方法可应用于更一般的方程

$$\frac{dy}{dx}=f\Big(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\Big)$$