可化为齐次的方程

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$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$$

1. 当$c_1=c_2=0$ 时, 方程是齐次的
2. 当 $c_1,c_2$ 不全为零时，一般不再直接是零次齐次形式，可按下列分支降为可分离变量方程:

令$x=X+h$, $y=Y+k$ , (此处的 $h$, $k$ 均为待定数, 可以为任意值)
则$dx=dX$, $dy=dY$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y+a_1h+b_1k+c_1}{a_2X+b_2Y+a_2h+b_2k+c_2}$$

如果后面的常系数构成的方程组满足

$$\begin{cases} a_1h+b_1k+c_1=0\\ a_2h+b_2k+c_2=0 \end{cases}$$

1. 且方程组的系数矩阵满足

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\neq 0$$

则方程可化为齐次方程, 求出通解

$$\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}$$

求出通解后, 根据$x=X+h$, $y=Y+k$ 代换回 $x$, $y$ 便得原方程通解

2. 若行列式为零（平移方程可能无解，也可能有无穷多解）

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}= 0$$

先设 $(a_1,b_1)\ne(0,0)$，取 $(a_2,b_2)=\lambda(a_1,b_1)$ , 则方程可化为:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\lambda(a_1x+b_1y)+c_2}$$

换元 $v=a_1x+b_1y$ , $\frac{dv}{dx}=a_1+b_1\frac{dy}{dx}$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b_1}(\frac{dv}{dx}-a_1)=\frac{v+c_1}{\lambda v+c_2}$$

这里反解 $y$ 要求 $b_1\ne0$；所得 $v'=a_1+b_1(v+c_1)/(\lambda v+c_2)$ 是可分离变量的微分方程。若 $b_1=0$，右端只含 $x$，直接积分；若第一行全零而第二行非零，可改用 $v=a_2x+b_2y$。两行全零时原方程是常斜率方程（要求 $c_2\ne0$）。

此方法可应用于更一般的方程

$$\frac{dy}{dx}=f\Big(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\Big)$$

几何意义

上面的「算行列式 → 平移 → 齐次代换」不是孤立技巧：行列式判断两条直线 $L_1=0,\ L_2=0$ 是否平行，即有无唯一交点，平移把交点搬到原点、使一次式变为零次齐次，$Y=vX$ 则利用「齐次性＝只看方向不看尺度」。完整几何图景见 可化为齐次方程的几何意义。

所有分支都保留原分母 $a_2x+b_2y+c_2\ne0$ 的限制；平移后令 $Y=vX$ 还需 $X\ne0$，分离时为零的因子要回原方程检查直线解。几何说明见可化为齐次方程的几何意义。